가환환 의 임의의 소 아이디얼
p
∈
Spec
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}
국소환 의 잉여류체 를
κ
(
p
)
{\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}
뇌터 국소 가환환
(
R
,
m
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
(G) 임의의
p
∈
Spec
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}
κ
(
p
)
{\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}
유한 확대
K
/
κ
(
p
)
{\displaystyle K/\kappa ({\mathfrak {p}})}
R
^
⊗
R
K
{\displaystyle {\hat {R}}\otimes _{R}K}
정칙 국소환 이다. 여기서
R
^
{\displaystyle {\hat {R}}}
R
{\displaystyle R}
완비 국소환 이다.
뇌터 가환환
R
{\displaystyle R}
탁월한 가환환 이라고 한다.[1] :Definition 1.7
임의의 극대 아이디얼
m
∈
Max
(
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (R)}
R
m
{\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}
임의의 유한 생성
R
{\displaystyle R}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
(C)
A
{\displaystyle A}
현수환 이다. (즉,
R
{\displaystyle R}
보편 현수환 이다.)
(J)
A
{\displaystyle A}
소 아이디얼 가운데, 정칙 국소환 을 정의하는 것들의 집합은
Spec
A
{\displaystyle \operatorname {Spec} A}
열린집합 이다. 만약 (C)조건을 생략한다면, 준탁월한 가환환 (영어 : quasiexcellent commutative ring )이라고 한다.
보다 일반적으로, 탁월한 가환환의 아핀 스킴 으로 구성된 열린 덮개 를 갖는 국소 뇌터 스킴 을 탁월한 스킴 (영어 : excellent scheme )이라고 한다.
임의의 탁월한 가환환의 소 아이디얼 (스펙트럼의 점) 가운데, 정칙 국소환 을 정의하는 것들의 집합은 열린집합 이다. 즉, 특이점들의 집합은 닫힌집합 이다.
탁월한 가환환의 임의의 곱셈 부분 모노이드 에 대한 국소화는 탁월한 가환환이다.
탁월한 가환환
R
{\displaystyle R}
곱셈 부분 모노이드
S
⊆
R
{\displaystyle S\subseteq R}
국소화
S
−
1
R
{\displaystyle S^{-1}R}
다항식환
R
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}
임의의 아이디얼
i
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R}
몫환
R
/
i
{\displaystyle R/{\mathfrak {i}}}
탁월한 가환환
R
{\displaystyle R}
아이디얼
i
⊆
R
{\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R}
완비화
R
^
=
lim
←
n
→
∞
R
/
i
n
{\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim _{n\to \infty }R/{\mathfrak {i}}^{n}}
를 취할 수 있다. 이 경우, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면,
R
^
{\displaystyle {\hat {R}}}
[1] :Theorem 1.11
R
{\displaystyle R}
극대 아이디얼 의 수는 유한하다.
Q
⊆
R
{\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq R}
다음과 같은 가환환은 탁월한 가환환이다.
양의 표수 에서는 탁월한 가환환이 아닌 이산 값매김환 이 존재한다. 구체적으로,
소수
p
{\displaystyle p}
표수
p
{\displaystyle p}
체
K
{\displaystyle K}
[
K
:
K
p
]
=
∞
{\displaystyle [K:K^{p}]=\infty }
K
p
=
{
a
p
:
a
∈
K
}
{\displaystyle K^{p}=\{a^{p}\colon a\in K\}}
프로베니우스 사상 의 치역 이다.)이 경우,
R
=
{
∑
i
a
i
x
i
∈
K
[
[
x
]
]
:
[
K
p
(
a
0
,
a
1
,
…
)
:
K
p
]
<
∞
}
⊊
K
[
[
x
]
]
{\displaystyle R=\left\{\sum _{i}a_{i}x^{i}\in K[\![x]\!]\colon [K^{p}(a_{0},a_{1},\dots ):K^{p}]<\infty \right\}\subsetneq K[\![x]\!]}
라고 하자. 그렇다면 이는 이산 값매김환 이며 따라서 보편 현수환 이지만, 탁월한 가환환이 아니다.
![{\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27e48b6ab3808afc94d6ec4889bab9a617b6ede)
![{\displaystyle [K:K^{p}]=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55631d9222dc5a6bd1813d219739a18d6e226b08)
![{\displaystyle R=\left\{\sum _{i}a_{i}x^{i}\in K[\![x]\!]\colon [K^{p}(a_{0},a_{1},\dots ):K^{p}]<\infty \right\}\subsetneq K[\![x]\!]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02708584d67db7a5a9dad9d78531dbfac827e490)