밀도 다발

(텐서 밀도에서 넘어옴)

미분기하학에서, 밀도 다발(密度-, 영어: density bundle)은 적분을 정의할 수 있는 단면들을 갖는 선다발이다.

정의편집

 차원 매끄러운 다양체   및 양의 실수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 일반선형군  는 다음과 같은 자명한 1차원 표현을 갖는다.

 
 

여기서 우변은 양의 실수의 곱셈군  의 원소이다.

그렇다면 이 표현에 대한 연관 다발을 정의할 수 있다. 이를  -밀도 다발(영어:  -density bundle)이라고 하며,  이라고 쓴다. 만약  일 경우, 밀도 다발이라고 한다.  -밀도 다발의 단면 -밀도라고 한다.[1]:468–470, §XVI.4

텐서 다발과 밀도 다발의 텐서곱을 텐서 밀도 다발(영어: tensor density bundle)이라고 하고, 그 단면을 텐서 밀도(영어: tensor density)라고 한다.

미분 형식과의 관계편집

유향 다양체  의 경우, 밀도 다발은 최고차 미분 형식들의 다발  과 표준적으로 동형이다. (이 동형은 다양체의 방향에 의존한다.) 즉, 이 경우 밀도는 최고차 미분 형식과 같은 개념이다. 그러나 가향 다양체가 아닌 경우 이러한 동형은 존재하지 않는다.

리만 다양체의 밀도 다발편집

리만 다양체  는 표준적인 밀도를 가지며, 이를 부피 밀도(영어: volume density)라고 한다. 국소적으로, 이는 부피 형식의 절댓값과 같다.

연산편집

 -밀도와  -밀도는 곱할 수 있으며,  -밀도를 얻는다. 어느 곳에서나 0이 아닌  -밀도는 역수를 취할 수 있으며, 이는  -밀도이다.

 -밀도는 더할 수 있으며,  -밀도를 얻는다.

적분편집

다양체 위의 1-밀도는 (적절한 수렴 조건이 충족된다면) 적분을 취할 수 있다. 매끄러운 다양체  의 국소 좌표계  에서, 밀도  의 적분은 다음과 같다.

 

여기서  유클리드 공간   위의 르베그 측도이다. 두 국소 좌표계의 교집합  에서, 밀도의 적분은 사용한 국소 좌표계에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 그렇다면   전체에서의 적분은 가법적(加法的)으로 정의할 수 있다.

응용편집

등각기하학에서, 등각 계량은 2차 텐서 밀도를 이룬다.

참고 문헌편집

  1. Lange, Serge (1999). 《Fundamentals of differential geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 191. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0541-8. ISBN 978-0-387-98593-0. ISSN 0072-5285. 

같이 보기편집