보조정리
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C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
가 국소적으로 작은 범주 (임의의 두 대상 사이의 사상 들의 모임 이 항상 집합 인 범주)라고 하자. 각 대상
A
∈
C
{\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}
에 대해, 다음과 같은 함자 가 존재한다 (
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} }
는 집합 의 범주).
hom
(
A
,
−
)
:
C
→
Set
{\displaystyle \hom(A,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
hom
(
A
,
−
)
:
B
↦
hom
(
A
,
B
)
{\displaystyle \hom(A,-)\colon B\mapsto \hom(A,B)}
이 함자에서, 사상
f
:
B
→
C
{\displaystyle f\colon B\to C}
의 상 은 다음과 같다.
hom
(
A
,
f
)
:
hom
(
A
,
B
)
→
hom
(
A
,
C
)
{\displaystyle \hom(A,f)\colon \hom(A,B)\to \hom(A,C)}
hom
(
A
,
f
)
:
g
↦
f
∘
g
{\displaystyle \hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g}
마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 (
op
{\displaystyle ^{\operatorname {op} }}
는 반대 범주 ).
hom
(
−
,
A
)
:
C
op
→
Set
{\displaystyle \hom(-,A)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
hom
(
−
,
A
)
:
B
↦
hom
(
B
,
A
)
{\displaystyle \hom(-,A)\colon B\mapsto \hom(B,A)}
hom
(
f
,
A
)
:
hom
(
C
,
A
)
→
hom
(
B
,
A
)
(
f
:
B
→
C
)
{\displaystyle \hom(f,A)\colon \hom(C,A)\to \hom(B,A)\qquad (f\colon B\to C)}
hom
(
f
,
A
)
:
g
↦
g
∘
f
{\displaystyle \hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f}
그리고 함자
F
:
C
→
Set
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리 에 따르면, 모든 대상
A
∈
C
{\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}
에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응 한다.
Nat
(
hom
(
A
,
−
)
,
F
)
≅
F
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\cong F(A)}
이 때,
Nat
(
hom
(
A
,
−
)
,
F
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)}
은 모든 자연 변환
Φ
:
hom
(
A
,
−
)
⇒
F
{\displaystyle \Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F}
들의 집합이다.
F
(
A
)
∈
Set
{\displaystyle F(A)\in \operatorname {Set} }
는
A
{\displaystyle A}
의 상 이다.
위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.
Φ
↦
Φ
A
(
id
A
)
∈
F
(
A
)
{\displaystyle \Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)}
이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (
Set
C
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}}
는 함자
C
→
Set
{\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
와 자연 변환 의 범주).[1] :61
Nat
(
hom
(
−
,
−
)
,
−
)
:
C
×
Set
C
→
Set
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
Nat
(
hom
(
−
,
−
)
,
−
)
:
(
A
,
F
)
↦
Nat
(
hom
(
A
,
−
)
,
F
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)}
−
(
−
)
:
C
×
Set
C
→
Set
{\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
−
(
−
)
:
(
A
,
F
)
↦
F
(
A
)
{\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}
즉, 위 일대일 대응 들은 이 두 함자 사이의 자연 동형 을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상
(
f
:
A
→
B
,
Φ
:
F
⇒
G
)
{\displaystyle (f\colon A\to B,\Phi \colon F\Rightarrow G)}
의 상은 다음과 같다.
Nat
(
hom
(
f
,
−
)
,
Φ
)
:
Nat
(
hom
(
A
,
−
)
,
F
)
→
Nat
(
hom
(
B
,
−
)
,
G
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(B,-),G)}
Nat
(
hom
(
f
,
−
)
,
Φ
)
=
Nat
(
hom
(
B
,
−
)
,
Φ
)
∘
Nat
(
hom
(
f
,
−
)
,
F
)
=
Nat
(
hom
(
f
,
−
)
,
G
)
∘
Nat
(
hom
(
A
,
−
)
,
Φ
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}
Nat
(
hom
(
f
,
−
)
,
Φ
)
:
Ψ
↦
Φ
∘
Ψ
∘
hom
(
f
,
−
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)}
두 번째 함자에서, 사상
(
f
:
A
→
B
,
Φ
:
F
⇒
G
)
{\displaystyle (f\colon A\to B,\Phi \colon F\Rightarrow G)}
의 상은 다음과 같다.
Φ
f
:
F
(
A
)
→
G
(
B
)
(
f
:
A
→
B
,
Φ
:
F
⇒
G
)
{\displaystyle \Phi _{f}\colon F(A)\to G(B)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}
Φ
f
=
Φ
B
∘
F
(
f
)
=
G
(
f
)
∘
Φ
A
{\displaystyle \Phi _{f}=\Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}}
마찬가지로, 모든 함자
F
:
C
op
→
Set
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
및 대상
A
∈
C
{\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}
에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응 한다.
Nat
(
hom
(
−
,
A
)
,
F
)
≅
F
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)\cong F(A)}
이 때
Nat
(
hom
(
−
,
A
)
,
F
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)}
는 자연 변환
Φ
:
hom
(
−
,
A
)
⇒
F
{\displaystyle \Phi \colon \hom(-,A)\Rightarrow F}
들의 집합이다.
F
(
A
)
{\displaystyle F(A)}
는
A
{\displaystyle A}
의 상 이다.
이 일대일 대응
Φ
↦
Φ
A
(
id
A
)
∈
F
(
A
)
{\displaystyle \Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)}
들은 함자
Nat
(
hom
(
−
,
−
)
,
−
)
′
:
C
op
×
Set
C
op
→
Set
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} }
Nat
(
hom
(
−
,
−
)
,
−
)
′
:
(
A
,
F
)
↦
Nat
(
hom
(
−
,
A
)
,
F
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)}
Nat
(
hom
(
−
,
f
)
,
Φ
)
:
Nat
(
hom
(
−
,
B
)
,
F
)
→
Nat
(
hom
(
−
,
A
)
,
G
)
(
f
:
A
→
B
,
Φ
:
F
⇒
G
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(-,B),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(-,A),G)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}
Nat
(
hom
(
−
,
f
)
,
Φ
)
=
Nat
(
hom
(
−
,
A
)
,
Φ
)
∘
Nat
(
hom
(
−
,
f
)
,
F
)
=
Nat
(
hom
(
−
,
f
)
,
G
)
∘
Nat
(
hom
(
B
,
−
)
,
Φ
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(-,A),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(-,f),F)=\operatorname {Nat} (\hom(-,f),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )}
Nat
(
hom
(
−
,
f
)
,
Φ
)
:
Ψ
↦
Φ
∘
Ψ
∘
hom
(
−
,
f
)
{\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(-,f)}
와
−
(
−
)
′
:
C
op
×
Set
C
op
→
Set
{\displaystyle -(-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} }
−
(
−
)
′
:
(
A
,
F
)
↦
F
(
A
)
{\displaystyle -(-)'\colon (A,F)\mapsto F(A)}
Φ
f
:
F
(
B
)
→
G
(
A
)
(
f
:
A
→
B
,
Φ
:
F
⇒
G
)
{\displaystyle \Phi _{f}\colon F(B)\to G(A)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}
Φ
f
=
Φ
A
∘
F
(
f
)
=
G
(
f
)
∘
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{f}=\Phi _{A}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{B}}
사이의 자연 동형 을 이룬다.
쌍대성에 따라, 함자
F
{\displaystyle F}
가
C
→
Set
{\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }
인 경우를 증명하면 충분하다. (
F
:
C
op
→
Set
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
의 경우,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
를 그 반대 범주 로 대체한다.)
임의의 자연 변환
Φ
:
hom
(
A
,
−
)
⇒
F
{\displaystyle \Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F}
에 대해
Φ
A
(
id
A
)
{\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})}
를 생각할 수 있다.
Φ
A
{\displaystyle \Phi _{A}}
는
A
→
A
{\displaystyle A\to A}
함자를
F
(
A
)
{\displaystyle F(A)}
의 원소로 옮겨야 하고,
id
A
:
A
→
A
{\displaystyle \operatorname {id} _{A}\colon A\to A}
이므로,
Φ
A
(
id
A
)
∈
F
(
A
)
{\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)}
임을 알 수 있다.
이제, 모든
u
∈
F
(
A
)
{\displaystyle u\in F(A)}
에 대해
Φ
A
(
id
A
)
=
u
{\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u}
인 유일한 자연 변환
Φ
{\displaystyle \Phi }
를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어 : diagram chasing )를 사용하여 증명할 수 있다.
자연 변환
Φ
X
(
f
)
=
(
F
f
)
u
{\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}
은 자명하게
Φ
A
(
id
A
)
=
u
{\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u}
를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로,
Φ
A
(
id
A
)
=
u
{\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u}
를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해,
u
∈
F
(
A
)
{\displaystyle u\in F(A)}
의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.
요네다 매장
편집
국소적으로 작은 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상
A
∈
C
{\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}
와 함자
F
=
hom
(
−
,
B
)
:
C
op
→
Set
{\displaystyle F=\hom(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
를 대입하면 다음 전단사 함수 를 얻는다.
hom
(
A
,
B
)
≅
Nat
(
hom
(
−
,
A
)
,
hom
(
−
,
B
)
)
{\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(-,A),\hom(-,B))}
f
↦
hom
(
−
,
f
)
{\displaystyle f\mapsto \hom(-,f)}
사실, 이는 함자 범주
Set
C
op
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}
로 가는 함자
hom
(
−
,
−
)
:
C
→
Set
C
op
{\displaystyle \hom(-,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}
hom
(
−
,
−
)
:
A
↦
hom
(
−
,
A
)
{\displaystyle \hom(-,-)\colon A\mapsto \hom(-,A)}
hom
(
−
,
−
)
:
f
↦
hom
(
−
,
f
)
{\displaystyle \hom(-,-)\colon f\mapsto \hom(-,f)}
를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자 이다. 다시 말해, 이 함자는 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
를 그 성질 그대로
Set
C
op
{\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}
안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 요네다 매장 ([米田]埋藏, 영어 : Yoneda embedding )이라고 부른다.
마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수
hom
(
A
,
B
)
≅
Nat
(
hom
(
B
,
−
)
,
hom
(
A
,
−
)
)
{\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\hom(A,-))}
f
↦
hom
(
f
,
−
)
{\displaystyle f\mapsto \hom(f,-)}
는 전단사 함수 이며, 다음과 같은 충실충만한 함자 가 존재한다.
hom
(
−
,
−
)
′
:
C
op
→
Set
C
{\displaystyle \hom(-,-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}}
hom
(
−
,
−
)
′
:
A
↦
hom
(
A
,
−
)
{\displaystyle \hom(-,-)'\colon A\mapsto \hom(A,-)}
hom
(
−
,
−
)
′
:
f
↦
hom
(
f
,
−
)
{\displaystyle \hom(-,-)'\colon f\mapsto \hom(f,-)}
참고 문헌
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