리 군론 에서 5차원 회전군 (五次元回轉群, 영어 : five-dimensional rotation group )은 5차원 유클리드 공간 의, 원점을 보존하는 등거리 변환 의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수 의 2×2 유니터리 군 으로도 나타내어질 수 있다.
단순 리 대수 의 분류에서,
B
2
=
C
2
{\displaystyle {\mathsf {B}}_{2}={\mathsf {C}}_{2}}
딘킨 도표
∙
⇒
∙
{\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet }
에 대응한다. 이에 대응하는 리 군 은 B₂(직교군 )로, 또는 C₂(심플렉틱 군 )로 해석될 수 있다.
이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군
SO
(
5
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )}
스핀 군
Spin
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (5)}
몫군 이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수 를 준
SO
(
1
,
4
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (1,4)}
로런츠 군 )
SO
(
2
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (2,3)}
및 이에 대응하는 스핀 군 들이 존재한다.
마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군 은
USp
(
4
;
R
)
=
Sp
(
2
;
H
)
=
Sp
(
4
;
C
)
∩
U
(
r
)
{\displaystyle \operatorname {USp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (r)}
이며, 마찬가지로 분할 형태
Sp
(
4
;
R
)
=
Sp
(
4
;
C
)
∩
GL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )}
가 존재한다.
이들은 다음과 같이 대응한다.
킬링 형식 의 부호수기호
직교군 기호심플렉틱 군 기호군의 중심 기본군 사타케 도표 보건 도표 비고
(0,10)
B₂, C₂
Spin(5)
USp
(
4
)
=
U
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
0
∙
⇒
∙
{\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet }
∘
⇒
∘
{\displaystyle \circ \Rightarrow \circ }
단일 연결 콤팩트 형태
SO(5)
PUSp
(
4
)
=
PU
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {PUSp} (4)=\operatorname {PU} (2;\mathbb {H} )}
0
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
무중심 콤팩트 형태
(6,4)
B₂Ⅰ, C₂Ⅰ
Spin(2,3)
Sp
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
Cyc
(
∞
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )}
∘
⇒
∘
{\displaystyle \circ \Rightarrow \circ }
∙
⇒
∘
{\displaystyle \bullet \Rightarrow \circ }
분할 형태
SO⁺(2,3)
PSp
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )}
0
Cyc
(
2
)
⊕
Cyc
(
∞
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (\infty )}
무중심 분할 형태
(4,6)
B₂Ⅱ, C₂Ⅱ
Spin(1,4)
USp
(
2
,
2
)
=
U
(
1
,
1
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {USp} (2,2)=\operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )}
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
0
∘
⇒
∙
{\displaystyle \circ \Rightarrow \bullet }
∘
⇒
∙
{\displaystyle \circ \Rightarrow \bullet }
SO⁺(1,4)
PUSp
(
2
,
2
)
=
PU
(
1
,
1
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {PUSp} (2,2)=\operatorname {PU} (1,1;\mathbb {H} )}
0
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}
콤팩트 형태
편집
Spin(5)의 최소 스피너 는 복소수 4차원 디랙 스피너 이다. 이는
USp
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {USp} (4)}
U
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}
콤팩트 형태에서,
Spin
(
4
)
=
USp
(
4
)
=
U
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}
사원수 유니터리 행렬 의 군이다. 즉,
{
M
∈
GL
(
2
;
H
)
:
M
†
M
=
1
2
×
2
}
{\displaystyle \{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }M=1_{2\times 2}\}}
이다. (여기서
(
−
)
†
{\displaystyle (-)^{\dagger }}
에르미트 수반 이다. 즉, 전치 행렬 에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)
이것의 군의 중심 은 다음과 같다.
Z
(
U
(
2
;
H
)
)
=
{
±
1
2
×
2
}
{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} (2;\mathbb {H} ))=\left\{\pm 1_{2\times 2}\right\}}
이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군 을 얻는다.
SO
(
5
;
R
)
≅
U
(
2
;
H
)
{
±
1
}
{\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong {\frac {\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}{\{\pm 1\}}}}
U
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}
표현 은 구체적으로 다음과 같다.
V
=
{
M
∈
GL
(
2
;
H
)
:
M
=
M
†
}
=
{
(
a
b
b
¯
a
)
:
a
∈
R
,
b
∈
H
}
{\displaystyle V=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M=M^{\dagger }\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\{\bar {b}}&a\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {H} \right\}}
M
⋅
v
=
M
v
M
†
(
M
∈
U
(
2
;
H
)
,
v
∈
V
)
{\displaystyle M\cdot v=MvM^{\dagger }\qquad (M\in \operatorname {U} (2;\mathbb {H} ),\;v\in V)}
분할 형태
편집
Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간 의 등각군 이다.
Spin
(
2
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (2,3)}
스피너 는 실수 4차원 마요라나 스피너 이다. 이는
Sp
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}
이는 심플렉틱 군
Sp
(
4
;
R
)
=
{
M
∈
GL
(
4
;
R
)
:
M
⊤
J
M
=
J
}
{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\{M\in \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )\colon M^{\top }JM=J\}}
J
=
(
0
2
×
2
−
1
2
×
2
1
2
×
2
0
2
×
2
)
{\displaystyle J={\begin{pmatrix}0_{2\times 2}&-1_{2\times 2}\\1_{2\times 2}&0_{2\times 2}\end{pmatrix}}}
에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심 은
{
±
1
4
×
4
}
<
Sp
(
4
;
R
)
{\displaystyle \{\pm 1_{4\times 4}\}<\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}
로런츠 형태
편집
이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간 의 로런츠 군 이자 3차원 유클리드 공간 의 등각군 이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너 이다.
심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.
U
(
1
,
1
;
H
)
=
{
M
∈
GL
(
2
;
H
)
:
M
†
Ω
M
=
Ω
}
{\displaystyle \operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }\Omega M=\Omega \}}
Ω
=
(
0
1
1
0
)
{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.
V
=
{
(
a
b
−
b
a
¯
)
:
a
∈
H
,
b
∈
R
}
{\displaystyle V=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-b&{\bar {a}}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {H} ,\;b\in \mathbb {R} \right\}}
M
⋅
v
=
M
v
Ω
M
Ω
−
1
(
v
∈
V
)
{\displaystyle M\cdot v=Mv\Omega M\Omega ^{-1}\qquad (v\in V)}
이 리 군 의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로 는 다음과 같다.
표현
SO(5) 해석
SO(5) 영 타블로
USp(4) 해석
USp(4) 영 타블로
4 스피너
■
벡터
□
5 벡터
□
무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)
□
10 반대칭 2-텐서 (5×4/2!)
□
대칭 2-텐서 (4×5/2!)
□□
14 무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1)
□□
4-텐서
□□
16 라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))
□■
3-텐서
□□
즉,
4
⊗
4
=
5
⊕
10
⊕
1
{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {5} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }
5
⊗
5
=
14
⊕
10
⊕
1
{\displaystyle \mathbf {5} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {14} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }
4
⊗
5
=
16
⊕
4
{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {16} \oplus \mathbf {4} }
이다.
참고 문헌
편집
Holman, Wayne J. Ⅲ (1969). “Representation Theory of SP(4) and SO(5)”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 10 : 1710. doi :10.1063/1.1665018 . 외부 링크
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