피카르 군

대수기하학에서 피카르 군(Picard群, 영어: Picard group)은 환 달린 공간 위에 존재하는 가역층들의 군이다.

정의

$X$ 가 환 달린 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$ 위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합을 생각하자. 이 집합에 텐서곱을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 피카르 군 $\operatorname {Pic} (X)$ 이라고 한다. 이는 층 코호몰로지를 사용하여

\operatorname {Pic} (X)=H^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })

와 같이 정의할 수도 있다.

피카르 스킴

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에 $K$ -스킴의 주조를 줄 수 있는데, 이를 피카르 스킴(영어: Picard scheme) $\operatorname {Pic} _{X/K}$ 이라고 한다.^[1]

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분을 $\operatorname {Pic} ^{0}(X)$ 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to \operatorname {Pic} ^{0}(X)\to \operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Pic} (X)/\operatorname {Pic} ^{0}(X)\to 1

여기서 몫군 $\operatorname {Pic} (X)/\operatorname {Pic} ^{0}(X)$ 을 네롱-세베리 군(영어: Néron–Severi group)이라고 하며, $\operatorname {NS} (X)$ 로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수를 피카르 수(영어: Picard number) $\rho (X)$ 라고 한다. 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 $\operatorname {NS_{tors}} (X)$ 의 크기를 세베리 수(영어: Severi number)라고 한다.

성질

대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체 $X$ 의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, (네롱-세베리 정리 영어: Néron–Severi theorem) 또한 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 $\operatorname {NS_{tors}} (X)$ 은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

예

체 $K$ 에 대한 $n$ 차원 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}$ 의 경우, 가역층들은 ${\mathcal {O}}(m)$ ( $m\in \mathbb {Z}$ )이고, 이들은 ${\mathcal {O}}(m_{1})\otimes {\mathcal {O}}(m_{2})\cong {\mathcal {O}}(m_{1}+m_{2})$ 를 만족한다. 따라서 $\mathbb {P} _{K}^{n}$ 의 피카르 군은 무한 순환군 $\mathbb {Z}$ 와 동형이다.

데데킨트 정역의 피카르 군은 그 아이디얼 유군이다.

체 $K$ 에 대하여, 두 개의 $\operatorname {Spec} K[x]$ 를 0이 아닌 원소들의 열린 집합 $\operatorname {Spec} K[x]\setminus \operatorname {Spec} K[x]/(x)$ 에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 아핀 직선을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 순환군 $\mathbb {Z}$ 와 동형이다.

역사

피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱과 프란체스코 세베리의 이름을 땄다.

각주

↑ Kleiman, Steven L. (2005). 〈The Picard scheme〉. 《Fundamental algebraic geometry》. Math. Surveys Monogr. (영어) 123. American Mathematical Society. 235–321쪽. arXiv:math/0504020. MR 2223410.

외부 링크

“Picard group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Picard variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Picard scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Néron-Severi group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
David Terr. “Picard group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

같이 보기

[1] Kleiman, Steven L. (2005). 〈The Picard scheme〉. 《Fundamental algebraic geometry》. Math. Surveys Monogr. (영어) 123. American Mathematical Society. 235–321쪽. arXiv:math/0504020. MR 2223410.

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