형식적 스킴

대수기하학에서 형식적 스킴(形式的scheme, 영어: formal scheme)은 스스로의 ‘무한소 근방’의 데이터를 기억하는, 스킴의 개념의 일반화이다.^{:190–200, §Ⅱ.9}

정의

아핀 형식적 스킴

뇌터 가환환 $A$의 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완비화

${\hat {A}}=\varprojlim A/{\mathfrak {I}}^{n}$

을 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 환 준동형들이 존재한다.

$0=A/{\mathfrak {I}}^{0}\leftarrow A/{\mathfrak {I}}\leftarrow A/{\mathfrak {I}}^{2}\leftarrow \dotsb \leftarrow {\hat {A}}\leftarrow A$

이 경우, 환의 스펙트럼을 취하자.

$\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}})\leftarrow \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{2})\leftarrow \dotsb \leftarrow \operatorname {Spec} {\hat {A}}\leftarrow \operatorname {Spec} A$

$\operatorname {Spec} A$를 제외하면, 나머지는 모두 위상 동형이다. (물론, 이들은 환 달린 공간으로서 서로 다르다.)

이 경우, 환 달린 공간 $\operatorname {Spf} {\hat {A}}$를 다음과 같이 정의하자.

• 위상 공간으로서 $\operatorname {Spf} {\hat {A}}$는 (임의의 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여) $\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}}^{n})$과 위상 동형이다.
• $\operatorname {Spf} {\hat {A}}$의 구조층은 가환환층의 사영 극한 $\varprojlim _{n}{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{n})}$이다.

이 구성은 $A$와 ${\mathfrak {I}}$에 의존하는 것처럼 보이지만, 사실 이는 ${\hat {A}}$의 위상환 구조에만 의존한다. 즉, ${\hat {A}}$와 동형인 위상환을 정의하는 $(A,{\mathfrak {I}}')$을 사용하더라도 동형인 환 달린 공간을 얻는다.

일반적 형식적 스킴

형식적 스킴은 임의의 점이 아핀 형식적 스킴과 동형인 열린 근방을 갖는 환 달린 공간이다. (즉, 아핀 형식적 스킴과 형식적 스킴의 관계는 아핀 스킴과 스킴의 관계, 또는 유클리드 공간과 매끄러운 다양체의 관계와 같다.)

성질

뇌터 위상환 ${\hat {A}}=\varprojlim _{n\to \infty }A/{\mathfrak {I}}^{n}$은 자연스럽게 기저

$\{a+{\mathfrak {I}}^{n}\colon a\in {\hat {A}},\;n\in \mathbb {N} \}$

를 갖는 위상을 가져 위상환을 이룬다. 이 경우, $\operatorname {Spf} {\hat {A}}$의 점들은 ${\hat {A}}$의 소 아이디얼 가운데 열린집합인 것들이다.

또한, 정의에 따라 임의의 열린집합 $U\subseteq \operatorname {Spf} {\hat {A}}$에 대하여,

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spf} {\hat {A}}})=\varprojlim _{n\to \infty }\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{n})})$

이다.

예

자명환

자명환 $0$은 (이산 공간으로) 위상환을 이루며, 이 위상은 영 아이디얼 $(0)$으로 정의된다. 그 형식적 스펙트럼은 공집합이다.

$\operatorname {Spf} 0=\varnothing$

형식적 멱급수

뇌터 가환환 $K$가 주어졌을 때, 다항식환

$A=K[x]$

의 아이디얼

${\mathfrak {I}}=(x)$

에 대한 완비화는 형식적 멱급수환이다.

$\varprojlim _{n\to \infty }K[x]/(x^{n})=K[[x]]$

위상환으로서, 이는 이산 공간으로 간주한 $K$의 가산 무한 곱집합과 위상 동형이다. 이에 대한 형식적 스펙트럼 $\operatorname {Spf} K[[x]]$을 취할 수 있다.

이제 추가로 $K$가 체라고 가정하자. 그 소 아이디얼들은 $\operatorname {Spec} K[[x]]=\{(x),(0)\}$이다. 이 가운데 열린집합인 것(즉, 완비화를 정의하는 아이디얼 $(x)$를 부분 집합으로 포함하는 것)은 $(x)$ 자체 밖에 없다. 즉, $\operatorname {Spf} K[[x]]=\{(x)\}$는 한원소 집합이다. 그 위의 구조층의 단면 대수는 정의에 따라서

$\Gamma ({\mathcal {O}}_{\operatorname {Spf} K[[x]]})=K[[x]]$

이다.

국소 뇌터 스킴

임의의 가환환 $R$을 이산 공간으로 간주할 수 있다. 이는 영 아이디얼에 대한 완비화로 생각할 수 있다.

만약 $R$가 이산 뇌터 가환환이라면, 그 형식적 스펙트럼은 스펙트럼과 (환 달린 공간으로서) 같다.

보다 일반적으로, 모든 국소 뇌터 스킴은 형식적 스킴을 이룬다.

닫힌 부분 스킴의 완비화

다음이 주어졌다고 하자.

• 국소 뇌터 스킴 $X$
• 아이디얼층 ${\mathcal {I}}$로 정의되는 닫힌 부분 스킴 $Y\hookrightarrow X$

그렇다면, $Y$의 위상 공간 위에 다음과 같은 가환환층을 부여할 수 있다.^{:192, §Ⅱ.9}

${\mathcal {O}}_{\hat {Y}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {I}}^{n}$

그렇다면 ${\hat {Y}}=(Y,{\mathcal {O}}_{\hat {Y}})$는 형식적 스킴을 이룬다. 이를 $X$의 $Y$ 근처의 형식적 완비화(영어: formal completion of $X$ along $Y$)라고 한다.

물론, 이 경우 ${\mathcal {I}}=0$(즉, $X=Y$)로 놓으면, 원래 스킴 $X$를 얻는다.^{:Example 9.3.3}

역사

오스카 자리스키가 1949년에 “형식적 정칙 함수”의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 형식적 완비화의 구조층의 단면에 해당한다.) 이후 자리스키의 개념을 알렉산더 그로텐디크가 스킴의 언어로 재정의하여 형식적 스킴의 개념을 정의하였다.

외부 링크

• “Formal scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Formal spectrum”. 《nLab》 (영어).