화살집 표현 (-表現, 영어 : quiver representation )은 환론 에서 화살집 의 각 꼭짓점에 가군 을 대응시키며 각 변에 가군 준동형 을 대응시키는 수학 구조이다.[1]
다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
화살집
Q
{\displaystyle Q}
추상적 정의
편집
Q
{\displaystyle Q}
의
K
{\displaystyle K}
계수 화살집 표현
R
{\displaystyle R}
는 다음과 같은 함자 이다.
R
:
Free
(
Q
)
→
Mod
K
{\displaystyle R\colon \operatorname {Free} (Q)\to \operatorname {Mod} _{K}}
여기서
Free
(
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Free} (Q)}
는
Q
{\displaystyle Q}
로 생성되는 자유 범주이며,
Mod
K
{\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}
는
K
{\displaystyle K}
-가군 의 범주 이다.
두 화살집 표현
R
{\displaystyle R}
,
S
{\displaystyle S}
사이의 사상
ϕ
:
R
→
S
{\displaystyle \phi \colon R\to S}
은 함자 사이의 자연 변환 이다.
구체적 정의
편집
Q
{\displaystyle Q}
의
K
{\displaystyle K}
계수 화살집 표현
R
{\displaystyle R}
은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
각 꼭짓점
v
∈
V
(
Q
)
{\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)}
에 대하여,
K
{\displaystyle K}
-가군
R
v
{\displaystyle R_{v}}
각 변
e
:
u
→
v
{\displaystyle e\colon u\to v}
에 대하여,
K
{\displaystyle K}
-가군 준동형
R
e
:
R
u
→
R
v
{\displaystyle R_{e}\colon R_{u}\to R_{v}}
두 화살집 표현
R
{\displaystyle R}
,
S
{\displaystyle S}
사이의 사상
ϕ
:
R
→
S
{\displaystyle \phi \colon R\to S}
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
각 꼭짓점
v
∈
V
(
Q
)
{\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)}
에 대하여,
K
{\displaystyle K}
-가군 준동형
ϕ
v
:
R
v
→
S
v
{\displaystyle \phi _{v}\colon R_{v}\to S_{v}}
이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변
e
:
u
→
v
{\displaystyle e\colon u\to v}
에 대하여,
R
u
→
ϕ
u
S
u
R
e
↓
R
e
S
e
↓
S
e
R
v
→
ϕ
v
S
v
{\displaystyle {\begin{matrix}R_{u}&{\overset {\phi _{u}}{\to }}&S_{u}\\{\scriptstyle R_{e}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle R_{e}}&&{\color {White}\scriptstyle S_{e}}\downarrow \scriptstyle S_{e}\\R_{v}&{\underset {\phi _{v}}{\to }}&S_{v}\end{matrix}}}
환론적 정의
편집
화살집
Q
{\displaystyle Q}
속의, 길이
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
의 보행 (영어 : walk, path )은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열
v
n
,
e
n
−
1
,
…
,
e
1
,
v
1
,
e
0
,
v
0
{\displaystyle v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{1},v_{1},e_{0},v_{0}}
이다.
s
(
e
i
)
=
v
i
∀
i
∈
{
0
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle s(e_{i})=v_{i}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}}
t
(
e
i
)
=
v
i
+
1
∀
i
∈
{
0
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle t(e_{i})=v_{i+1}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}}
(보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응 한다.)
Q
{\displaystyle Q}
의 보행들을 기저 로 갖는
K
{\displaystyle K}
-자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자.
임의의 두 보행
α
=
(
v
n
,
e
n
−
1
,
…
,
e
0
,
v
0
)
{\displaystyle \alpha =(v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{0},v_{0})}
,
β
=
(
v
n
′
′
,
e
n
′
−
1
′
,
…
,
e
0
′
,
v
0
′
)
{\displaystyle \beta =(v'_{n'},e'_{n'-1},\dotsc ,e'_{0},v'_{0})}
에 대하여,
만약
v
0
=
v
n
′
′
{\displaystyle v_{0}=v'_{n'}}
이라면,
α
β
=
(
v
n
,
e
n
−
1
,
…
,
e
0
,
v
0
,
e
n
′
−
1
′
,
…
,
v
0
′
)
{\displaystyle \alpha \beta =(v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{0},v_{0},e'_{n'-1},\dotsc ,v'_{0})}
만약
v
0
≠
v
n
′
′
{\displaystyle v_{0}\neq v'_{n'}}
이라면,
α
β
=
0
{\displaystyle \alpha \beta =0}
이는 유사환 을 이루며, 만약
Q
{\displaystyle Q}
가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원
1
=
∑
v
∈
V
(
Q
)
(
v
)
{\displaystyle 1=\sum _{v\in \operatorname {V} (Q)}(v)}
을 가져 환 을 이룬다. 이를
Q
{\displaystyle Q}
위의 보행 대수 (영어 : walk algebra, path algebra )
K
[
Q
]
{\displaystyle K[Q]}
라고 한다.
이제, 만약
Q
{\displaystyle Q}
의 꼭짓점 집합이 유한 집합 일 경우,
Q
{\displaystyle Q}
의
K
{\displaystyle K}
-표현 은 보행 대수
K
[
Q
]
{\displaystyle K[Q]}
의 왼쪽 가군
R
{\displaystyle R}
이다.
이 정의들은 다음과 같이 대응한다.
범주론적 정의
구체적 정의
환론적 정의
꼭짓점
v
{\displaystyle v}
에 대응하는 대상의 상
R
(
v
)
{\displaystyle R(v)}
꼭짓점
v
{\displaystyle v}
에 대응되는 가군
R
v
{\displaystyle R_{v}}
(
v
)
R
{\displaystyle (v)R}
(
(
v
)
{\displaystyle (v)}
는 길이 0의 보행)
변
e
{\displaystyle e}
에 대응하는 사상의 상
R
(
e
)
{\displaystyle R(e)}
변
e
:
u
→
v
{\displaystyle e\colon u\to v}
에 대응하는 가군 준동형
R
e
:
R
u
→
R
v
{\displaystyle R_{e}\colon R_{u}\to R_{v}}
길이 1의 보행
(
u
,
e
,
v
)
{\displaystyle (u,e,v)}
의 작용
(
u
,
e
,
v
)
:
(
v
)
R
→
(
u
)
R
{\displaystyle (u,e,v)\colon (v)R\to (u)R}
보행
(
v
n
,
…
,
e
0
,
v
0
)
{\displaystyle (v_{n},\dotsc ,e_{0},v_{0})}
에 대응하는 사상의 상
R
(
e
n
−
1
)
∘
⋯
∘
R
(
e
0
)
{\displaystyle R(e_{n-1})\circ \dotsb \circ R(e_{0})}
보행의 변들에 대응하는 가군 준동형 들의 합성
R
e
n
−
1
∘
⋯
∘
R
e
0
:
R
v
0
→
R
v
n
{\displaystyle R_{e_{n-1}}\circ \dotsb \circ R_{e_{0}}\colon R_{v_{0}}\to R_{v_{n}}}
보행의 작용
임의의 가환환
K
{\displaystyle K}
가 주어졌다고 하자.
공집합 (즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집 )은 유일한 (자명한)
K
{\displaystyle K}
-표현을 갖는다.
하나의 꼭짓점을 갖는 화살집
A
1
{\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}}
의 표현들은
K
{\displaystyle K}
-가군 이다. 특히, 만약
K
{\displaystyle K}
가 체 일 때,
A
1
{\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}}
의 분해 불가능
K
{\displaystyle K}
-표현은 1차원 표현
K
{\displaystyle K}
밖에 없다. (이는
A
1
{\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}}
근계 의 유일한 양근 에 대응한다.)
A
2
{\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}}
근계 는 세 개의 양근
α
{\displaystyle \alpha }
,
β
{\displaystyle \beta }
,
α
+
β
{\displaystyle \alpha +\beta }
를 갖는다.
두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집
A
2
{\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}}
의 표현들은 두
K
{\displaystyle K}
-가군 사이의 가군 준동형 이다. 특히, 만약
K
{\displaystyle K}
가 체 일 때,
A
2
=
∙
u
−
e
∙
v
{\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}={\underset {u}{\bullet }}{\overset {e}{-}}{\underset {v}{\bullet }}}
의 분해 불가능
K
{\displaystyle K}
-표현은 다음 세 개이다. (이는
A
2
{\displaystyle {\mathsf {A}}_{2}}
근계 의 세 양근 에 대응한다.)
R
u
=
K
{\displaystyle R_{u}=K}
,
R
v
=
0
{\displaystyle R_{v}=0}
,
R
e
{\displaystyle R_{e}}
는 값이 0인 상수 함수
R
u
=
0
{\displaystyle R_{u}=0}
,
R
v
=
K
{\displaystyle R_{v}=K}
,
R
e
{\displaystyle R_{e}}
는 값이 0인 상수 함수
R
u
=
R
v
=
K
{\displaystyle R_{u}=R_{v}=K}
,
R
e
{\displaystyle R_{e}}
는 항등 함수
가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(프랑스어 : Pierre Gabriel , 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.[2] :73, §1.2, Satz
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