7차원 초구는 호프 올다발
S
3
↪
S
7
↠
S
4
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}}
을 정의한다. 이는
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
에 대한 주다발 을 이룬다.
S
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}
은 등거리군
O
(
8
)
{\displaystyle \operatorname {O} (8)}
을 갖는다. 임의의 점의 안정자군 은 O(7)이며, 이에 따라
S
7
=
O
(
8
)
/
O
(
7
)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\operatorname {O} (8)/\operatorname {O} (7)}
이다.
S
7
=
Spin
(
7
)
/
G
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}}
로 여겼을 때, 이는
Spin
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (7)}
의 군의 작용을 갖는다. 이는
O
(
8
)
{\displaystyle \operatorname {O} (8)}
의 부분군이다.
호프 주다발
SU
(
2
)
↪
S
7
↠
S
4
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}}
에 의하여,
S
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}
위에는
Spin
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (5)}
및
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
가 작용한다. 사실, SU(2)의 작용은
Spin
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (5)}
의 작용의 부분 작용이며,
S
7
=
Spin
(
5
)
/
SU
(
2
)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\operatorname {Spin} (5)/\operatorname {SU} (2)}
이다.
7차원 초구는 평행화 가능 다양체 이다. 사실, 초구 가운데 평행화 가능 다양체 인 것은 0차원 · 1차원 · 3차원 · 7차원 밖에 없다. 이들은 실수체 위의 노름 나눗셈 대수 (실수 , 복소수 , 사원수 , 팔원수 )에서 유래한다. 이 가운데 리 군 을 이루지 않는 것은 7차원 초구 밖에 없다. (이는 팔원수 가 결합 법칙 을 따르지 않기 때문이다.)
구체적으로, 단위 팔원수의 다양체
S
7
=
{
a
∈
O
:
|
a
|
=
1
}
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\{a\in \mathbb {O} \colon |a|=1\}}
에서, 임의의 점
a
{\displaystyle a}
의 접공간은
{
a
+
b
∈
O
:
a
⊥
b
}
{\displaystyle \{a+b\in \mathbb {O} \colon a\perp b\}}
이다. 여기서 수직 조건은
Re
(
a
∗
b
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (a^{*}b)=0}
으로 적을 수 있다. 즉
a
∗
b
+
b
∗
a
=
0
{\displaystyle a^{*}b+b^{*}a=0}
이다. 여기서
b
=
(
a
∗
)
−
1
c
{\displaystyle b=(a^{*})^{-1}c}
로 치환하면
a
∗
(
(
a
∗
)
−
1
c
)
+
(
c
∗
a
−
1
)
a
=
0
{\displaystyle a^{*}((a^{*})^{-1}c)+(c^{*}a^{-1})a=0}
이다. 팔원수는 교대 대수 이므로, 이는
c
+
c
∗
=
0
{\displaystyle c+c^{*}=0}
이다. 즉,
c
{\displaystyle c}
는 순허수 팔원수이다. 이로서 단위 팔원수의 다양체
S
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}
의 접공간은 표준적으로 순허수 팔원수의 공간과 동형이며, 이에 따라 7차원 초구는 평행화 가능 다양체 이다.
호프 올다발
SU
(
2
)
↪
S
7
↠
S
4
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}}
로 인하여,
S
4
{\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}
의 부피 형식 을
S
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}
로 당길 수 있다. 이는 4차 완전 미분 형식 을 이루며, 이는
S
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}
의 G₂ 구조의 일부이다. 이는 정의에 따라
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
의 작용에 대하여 불변이다.
보다 구체적으로, 순허수 팔원수 의 곱셈에 의하여 7차원 유클리드 공간에는 반대칭 쌍선형 연산
(
×
)
:
R
7
×
R
7
→
R
7
{\displaystyle (\times )\colon \mathbb {R} ^{7}\times \mathbb {R} ^{7}\to \mathbb {R} ^{7}}
이 존재한다. 노름을 사용하여, 이를
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
위의 3차 미분 형식
φ
∈
⋀
3
R
7
{\displaystyle \varphi \in \bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{7}}
φ
(
u
,
v
,
w
)
=
⟨
u
,
v
×
w
⟩
{\displaystyle \varphi (u,v,w)=\langle u,v\times w\rangle }
으로 놓을 수 있다. 이제, 팔원수 공간
O
=
R
⊕
R
7
{\displaystyle \mathbb {O} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ^{7}}
위에 다음과 같은 4차 미분 형식 을 정의하자.
Φ
=
d
x
∧
π
∗
φ
+
π
∗
(
⋆
φ
)
{\displaystyle \Phi =\mathrm {d} x\wedge \pi ^{*}\varphi +\pi ^{*}(\star \varphi )}
여기서
⋆
φ
∈
⋀
4
R
7
{\displaystyle \star \varphi \in \textstyle \bigwedge ^{4}\mathbb {R} ^{7}}
는
φ
{\displaystyle \varphi }
의 호지 쌍대 이다.
π
:
O
↠
R
7
{\displaystyle \pi \colon \mathbb {O} \twoheadrightarrow \mathbb {R} ^{7}}
는 팔원수의 실수 성분을 0으로 놓는 사영 사상이다.
π
∗
{\displaystyle \pi ^{*}}
는
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
위에 정의된 미분 형식을
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
위로 당기는 연산이다.
이는 자기 쌍대 미분 형식이다.
Φ
=
⋆
Φ
{\displaystyle \Phi =\star \Phi }
자기 쌍대성에 의하여, 이는 다음과 같은 꼴을 갖는다.
Φ
↾
(
O
∖
{
0
}
)
=
r
3
∧
ϕ
+
r
4
⋆
S
7
ϕ
{\displaystyle \Phi \upharpoonright (\mathbb {O} \setminus \{0\})=r^{3}\wedge \phi +r^{4}\star _{\mathbb {S} ^{7}}\phi }
여기서
r
:
O
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle r\colon \mathbb {O} \to [0,\infty )}
는 팔원수의 노름 좌표이다. 이에 따라서, 단위 팔원수의 공간
S
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}
위에 3차 미분 형식
ϕ
∈
Ω
3
(
S
7
)
{\displaystyle \phi \in \Omega ^{3}(\mathbb {S} ^{7})}
을 정의할 수 있다. 이는
d
ϕ
=
4
⋆
ϕ
{\displaystyle \mathrm {d} \phi =4\star \phi }
를 따르며,
S
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}
위의 G₂ 구조를 정의한다.[2]
ϕ
{\displaystyle \phi }
는 닫힌 미분 형식 이 아니므로, 7차원 초구는 사실 실제 G₂ 다양체를 이루지는 않는다. (7차원 초구의 홀로노미는 대칭 공간
S
7
=
SO
(
8
)
/
SO
(
7
)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)}
에 의하여
SO
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (7)}
이며, 이는
G
2
{\displaystyle G_{2}}
보다 더 크다.)
4차원을 제외하면, 표준적 초구 와 위상 동형 이지만 미분 동형 이 아닌 매끄러운 다양체 가 존재하는 최초의 차원은 7차원이다. 7차원 초구와 위상 동형인 매끄러운 다양체 들의 (미분 동형 류의) 집합은 연결합 에 대하여 가환 모노이드 를 이루며, 이는 28차 순환군
Cyc
(
28
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (28)}
과 동형이다. 즉, 표준적인 7차원 초구를 제외하면 총 27개의 이색적 7차원 초구 (영어 : exotic 7-sphere )가 존재한다.
예를 들어,
Sp
(
2
)
=
USp
(
4
)
≅
Spin
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (2)=\operatorname {USp} (4)\cong \operatorname {Spin} (5)}
위의
Sp
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}
의 다음과 같은 작용 을 생각하자.
Sp
(
1
)
×
Sp
(
2
)
→
Sp
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (2)\to \operatorname {Sp} (2)}
q
⋅
M
=
(
q
0
0
q
)
M
(
q
¯
0
0
1
)
(
q
∈
H
,
‖
q
‖
=
1
,
M
∈
Sp
(
2
)
⊂
Mat
(
2
,
2
;
H
)
)
{\displaystyle q\cdot M={\begin{pmatrix}q&0\\0&q\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}{\bar {q}}&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad (q\in \mathbb {H} ,\;\|q\|=1,\;M\in \operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {H} ))}
그렇다면, 이에 대한 궤도의 공간은 10−3 = 7차원 매끄러운 다양체 를 이룬다. 이는 7차원 초구와 위상 동형 이지만 미분 동형 이 아니다. 이를 그로몰-마이어 초구 (영어 : Gromoll–Meyer sphere )라고 한다.[3]
초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군 이 아닌 것은 다음과 같다.
π
7
(
S
7
)
≅
Z
{\displaystyle \pi _{7}(\mathbb {S} ^{7})\cong \mathbb {Z} }
π
8
(
S
7
)
≅
π
9
(
S
7
)
≅
π
13
(
S
7
)
≅
Z
/
(
2
)
{\displaystyle \pi _{8}(\mathbb {S} ^{7})\cong \pi _{9}(\mathbb {S} ^{7})\cong \pi _{13}(\mathbb {S} ^{7})\cong \mathbb {Z} /(2)}
π
10
(
S
7
)
≅
Z
/
(
24
)
{\displaystyle \pi _{10}(\mathbb {S} ^{7})\cong \mathbb {Z} /(24)}
π
14
(
S
7
)
≅
Z
/
(
120
)
{\displaystyle \pi _{14}(\mathbb {S} ^{7})\cong \mathbb {Z} /(120)}
π
15
(
S
7
)
≅
(
Z
/
(
2
)
)
3
{\displaystyle \pi _{15}(\mathbb {S} ^{7})\cong (\mathbb {Z} /(2))^{3}}