호프 주다발
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7차원 초구는 호프 올다발
S 3 ↪ S 7 ↠ S 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}} 을 정의한다. 이는 SU ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 에 대한 주다발 을 이룬다.
군의 작용
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S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 은 등거리군 O ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {O} (8)} 을 갖는다. 임의의 점의 안정자군 은 O(7)이며, 이에 따라 S 7 = O ( 8 ) / O ( 7 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\operatorname {O} (8)/\operatorname {O} (7)} 이다.
S 7 = Spin ( 7 ) / G 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}} 로 여겼을 때, 이는 Spin ( 7 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (7)} 의 군의 작용을 갖는다. 이는 O ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {O} (8)} 의 부분군이다.
호프 주다발 SU ( 2 ) ↪ S 7 ↠ S 4 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}} 에 의하여, S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 위에는 Spin ( 5 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (5)} 및 SU ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 가 작용한다. 사실, SU(2)의 작용은 Spin ( 5 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (5)} 의 작용의 부분 작용이며, S 7 = Spin ( 5 ) / SU ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\operatorname {Spin} (5)/\operatorname {SU} (2)} 이다.
평행화 가능 다양체
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7차원 초구는 평행화 가능 다양체 이다. 사실, 초구 가운데 평행화 가능 다양체 인 것은 0차원 · 1차원 · 3차원 · 7차원 밖에 없다. 이들은 실수체 위의 노름 나눗셈 대수 (실수 , 복소수 , 사원수 , 팔원수 )에서 유래한다. 이 가운데 리 군 을 이루지 않는 것은 7차원 초구 밖에 없다. (이는 팔원수 가 결합 법칙 을 따르지 않기 때문이다.)
구체적으로, 단위 팔원수의 다양체
S 7 = { a ∈ O : | a | = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\{a\in \mathbb {O} \colon |a|=1\}} 에서, 임의의 점 a {\displaystyle a} 의 접공간은
{ a + b ∈ O : a ⊥ b } {\displaystyle \{a+b\in \mathbb {O} \colon a\perp b\}} 이다. 여기서 수직 조건은
Re ( a ∗ b ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (a^{*}b)=0} 으로 적을 수 있다. 즉
a ∗ b + b ∗ a = 0 {\displaystyle a^{*}b+b^{*}a=0} 이다. 여기서
b = ( a ∗ ) − 1 c {\displaystyle b=(a^{*})^{-1}c} 로 치환하면
a ∗ ( ( a ∗ ) − 1 c ) + ( c ∗ a − 1 ) a = 0 {\displaystyle a^{*}((a^{*})^{-1}c)+(c^{*}a^{-1})a=0} 이다. 팔원수는 교대 대수 이므로, 이는
c + c ∗ = 0 {\displaystyle c+c^{*}=0} 이다. 즉, c {\displaystyle c} 는 순허수 팔원수이다. 이로서 단위 팔원수의 다양체 S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 의 접공간은 표준적으로 순허수 팔원수의 공간과 동형이며, 이에 따라 7차원 초구는 평행화 가능 다양체 이다.
미분 형식
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호프 올다발 SU ( 2 ) ↪ S 7 ↠ S 4 {\displaystyle \operatorname {SU} (2)\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}} 로 인하여, S 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{4}} 의 부피 형식 을 S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 로 당길 수 있다. 이는 4차 완전 미분 형식 을 이루며, 이는 S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 의 G₂ 구조의 일부이다. 이는 정의에 따라 SU ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 의 작용에 대하여 불변이다.
보다 구체적으로, 순허수 팔원수 의 곱셈에 의하여 7차원 유클리드 공간에는 반대칭 쌍선형 연산
( × ) : R 7 × R 7 → R 7 {\displaystyle (\times )\colon \mathbb {R} ^{7}\times \mathbb {R} ^{7}\to \mathbb {R} ^{7}} 이 존재한다. 노름을 사용하여, 이를 R 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} 위의 3차 미분 형식
φ ∈ ⋀ 3 R 7 {\displaystyle \varphi \in \bigwedge ^{3}\mathbb {R} ^{7}}
φ ( u , v , w ) = ⟨ u , v × w ⟩ {\displaystyle \varphi (u,v,w)=\langle u,v\times w\rangle } 으로 놓을 수 있다. 이제, 팔원수 공간
O = R ⊕ R 7 {\displaystyle \mathbb {O} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ^{7}} 위에 다음과 같은 4차 미분 형식 을 정의하자.
Φ = d x ∧ π ∗ φ + π ∗ ( ⋆ φ ) {\displaystyle \Phi =\mathrm {d} x\wedge \pi ^{*}\varphi +\pi ^{*}(\star \varphi )} 여기서
⋆ φ ∈ ⋀ 4 R 7 {\displaystyle \star \varphi \in \textstyle \bigwedge ^{4}\mathbb {R} ^{7}} 는 φ {\displaystyle \varphi } 의 호지 쌍대 이다.
π : O ↠ R 7 {\displaystyle \pi \colon \mathbb {O} \twoheadrightarrow \mathbb {R} ^{7}} 는 팔원수의 실수 성분을 0으로 놓는 사영 사상이다.
π ∗ {\displaystyle \pi ^{*}} 는 R 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} 위에 정의된 미분 형식을 O {\displaystyle \mathbb {O} } 위로 당기는 연산이다.이는 자기 쌍대 미분 형식이다.
Φ = ⋆ Φ {\displaystyle \Phi =\star \Phi } 자기 쌍대성에 의하여, 이는 다음과 같은 꼴을 갖는다.
Φ ↾ ( O ∖ { 0 } ) = r 3 ∧ ϕ + r 4 ⋆ S 7 ϕ {\displaystyle \Phi \upharpoonright (\mathbb {O} \setminus \{0\})=r^{3}\wedge \phi +r^{4}\star _{\mathbb {S} ^{7}}\phi } 여기서 r : O → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle r\colon \mathbb {O} \to [0,\infty )} 는 팔원수의 노름 좌표이다. 이에 따라서, 단위 팔원수의 공간 S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 위에 3차 미분 형식
ϕ ∈ Ω 3 ( S 7 ) {\displaystyle \phi \in \Omega ^{3}(\mathbb {S} ^{7})} 을 정의할 수 있다. 이는
d ϕ = 4 ⋆ ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \phi =4\star \phi } 를 따르며, S 7 {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}} 위의 G₂ 구조를 정의한다.[2]
ϕ {\displaystyle \phi } 는 닫힌 미분 형식 이 아니므로, 7차원 초구는 사실 실제 G₂ 다양체를 이루지는 않는다. (7차원 초구의 홀로노미는 대칭 공간 S 7 = SO ( 8 ) / SO ( 7 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{7}=\operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)} 에 의하여 SO ( 7 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (7)} 이며, 이는 G 2 {\displaystyle G_{2}} 보다 더 크다.)
매끄러움 구조
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4차원을 제외하면, 표준적 초구 와 위상 동형 이지만 미분 동형 이 아닌 매끄러운 다양체 가 존재하는 최초의 차원은 7차원이다. 7차원 초구와 위상 동형인 매끄러운 다양체 들의 (미분 동형 류의) 집합은 연결합 에 대하여 가환 모노이드 를 이루며, 이는 28차 순환군 Cyc ( 28 ) {\displaystyle \operatorname {Cyc} (28)} 과 동형이다. 즉, 표준적인 7차원 초구를 제외하면 총 27개의 이색적 7차원 초구 (영어 : exotic 7-sphere )가 존재한다.
예를 들어, Sp ( 2 ) = USp ( 4 ) ≅ Spin ( 5 ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (2)=\operatorname {USp} (4)\cong \operatorname {Spin} (5)} 위의 Sp ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} 의 다음과 같은 작용 을 생각하자.
Sp ( 1 ) × Sp ( 2 ) → Sp ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (2)\to \operatorname {Sp} (2)}
q ⋅ M = ( q 0 0 q ) M ( q ¯ 0 0 1 ) ( q ∈ H , ‖ q ‖ = 1 , M ∈ Sp ( 2 ) ⊂ Mat ( 2 , 2 ; H ) ) {\displaystyle q\cdot M={\begin{pmatrix}q&0\\0&q\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}{\bar {q}}&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad (q\in \mathbb {H} ,\;\|q\|=1,\;M\in \operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {Mat} (2,2;\mathbb {H} ))} 그렇다면, 이에 대한 궤도의 공간은 10−3 = 7차원 매끄러운 다양체 를 이룬다. 이는 7차원 초구와 위상 동형 이지만 미분 동형 이 아니다. 이를 그로몰-마이어 초구 (영어 : Gromoll–Meyer sphere )라고 한다.[3]
호모토피 군
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초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군 이 아닌 것은 다음과 같다.
π 7 ( S 7 ) ≅ Z {\displaystyle \pi _{7}(\mathbb {S} ^{7})\cong \mathbb {Z} }
π 8 ( S 7 ) ≅ π 9 ( S 7 ) ≅ π 13 ( S 7 ) ≅ Z / ( 2 ) {\displaystyle \pi _{8}(\mathbb {S} ^{7})\cong \pi _{9}(\mathbb {S} ^{7})\cong \pi _{13}(\mathbb {S} ^{7})\cong \mathbb {Z} /(2)}
π 10 ( S 7 ) ≅ Z / ( 24 ) {\displaystyle \pi _{10}(\mathbb {S} ^{7})\cong \mathbb {Z} /(24)}
π 14 ( S 7 ) ≅ Z / ( 120 ) {\displaystyle \pi _{14}(\mathbb {S} ^{7})\cong \mathbb {Z} /(120)}
π 15 ( S 7 ) ≅ ( Z / ( 2 ) ) 3 {\displaystyle \pi _{15}(\mathbb {S} ^{7})\cong (\mathbb {Z} /(2))^{3}}