8차원 회전군

리 군론에서, 8차원 회전군(八次元回轉群, 영어: eight-dimensional rotation group)은 8차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 삼중성(영어: triality)이라는 특별한 대칭을 갖는다.

정의편집

8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군  이다. 그 딘킨 도표

 

이다. 이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군   대칭을 갖는데, 이를 삼중성(영어: triality)이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다.

복소수 리 대수  은 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 리 군들은 다음이 있다.

킬링 형식의 부호수 기호 직교군 기호 사타케 도표 보건 도표 비고
(0,28) Spin(8)     콤팩트 형태
(7,21) D₄Ⅱ Spin(1,7)    
(12,16) D₄Ⅱ, D₄Ⅲ SO*(8)=SO(2,6)    
(15,13) D₄Ⅱ Spin(3,5)    
(16,12) D₄Ⅰ Spin(4,4)     분할 형태

성질편집

콤팩트 형태편집

Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다.

Spin(8)의 군의 중심클라인 4원군

 

이며, 이는 유한체   위의 2차원 벡터 공간  의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 자기 동형군

 

이다. 구체적으로,  는 영벡터가 아닌 세 개의 벡터 (0,1), (1,0), (1,1)을 갖는데, 자기 동형군은 이 위의 순열로서 작용한다.

특수 직교군  에서, 이 중심군은  로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨지게 된다. 이는 스피너가 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군  을 취하면, 다시 삼중성이 존재하게 된다. 이는 벡터 표현 또한 사영 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

분할 형태편집

 군의 중심 이며, 위상수학적으로 그 호모토피 유형은  이므로, 그 기본군 이다. 다시 말해,  범피복군군의 중심

 

이다. 그 자기 동형군은 크기 168의 유한 단순군

 

이며, 삼중성은 그 위에 작용한다.

Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.

SO(3,5)편집

Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다.

 범피복군군의 중심은 마찬가지로  이다.

SO(2,6) = SO*(8)편집

실수 리 대수   과 일치한다. 이에 대응하는 리 군의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 민코프스키 공간등각군으로 해석될 수 있다.

동형 사상

 

6차원 회전군의 동형 사상

 

을 확장시킨다.

로런츠 형태 SO(1,7)편집

실수 리 대수  은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 유클리드 공간등각군으로 해석될 수 있다.

참고 문헌편집

  • Adams, John Frank (1981). 〈Spin(8), Triality, F4 and all that〉. Hawking, Stephen; Roček, Martin. 《Superspace and supergravity》 (영어). Cambridge University Press. 435–445쪽. 

외부 링크편집