𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론

이론물리학에서, 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론(四次元${\mathcal {N}}=4$超對稱[楊]-Mills理論, 영어: four-dimensional ${\mathcal {N}}=4$ supersymmetric Yang–Mills theory)은 중력을 포함하지 않는, 4차원에서 최대의 초대칭 대수를 갖는 초대칭 게이지 이론이다. 이 이론은 사실 초등각 장론을 이루며, 초끈 이론과 깊은 관계를 갖는다.

정의

콤팩트 리 군 $G$를 게이지 군으로 삼는 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론의 라그랑지언은 다음과 같다.

$$L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta }{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\}$$

여기서 $\mu ,\nu =0,1,2,3$는 3+1차원 시공간 벡터 표현의 지표이며, $i,j=1,\dots ,6$는 Spin(6)=SU(4) R대칭 벡터 표현의 지표이며, $f$는 게이지 군 $G$의 딸림표현의 지표이다. $C_{i}^{ab}$는 SU(4)의 구조 상수이다. $F_{\mu \nu }^{k}$는 양-밀스 이론의 게이지 장세기 $F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}$ 이다 ($A_{\mu }^{k}$는 게이지 퍼텐셜). $g$와 $\theta$는 게이지 결합 상수이며, 게이지 군의 종류와 더불어 이론의 유일한 매개 변수이다. 비재규격화 정리에 따라서, $g$와 $\theta$는 재규격화를 겪지 않으며, 이 이론은 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초등각 대칭을 갖는다.

구성

4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 같은 게이지 군을 갖는 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소(영어: dimensional reduction)로 얻어진다. 이 경우, Spin(6) R대칭군은 축소된 6개의 차원에 대한 회전 대칭으로서 발생한다.

또한, 적어도 특정한 게이지 군에 대하여, 이 이론은 D3-막 위에 자연스럽게 존재하는 양자장론이다(이 사실은 $\operatorname {AdS} _{5}\times \mathbb {S} ^{5}$ AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다). 이 경우, 게이지 군의 종류는 겹쳐진 D3-막의 수와 오리엔티폴드의 유무에 따라 결정된다. 예를 들어, 오리엔티폴드가 없으며, $N$개의 D3-막이 존재한다면, 이 경우 $\operatorname {U} (N)$ 게이지 군이 발생한다.

성질

몬토넨-올리브 이중성

${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론에서는 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 몬토넨-올리브 이중성(Montonen–Olive duality)이라고 한다. 구체적으로, 두 결합 상수 $g$와 $\theta$를 다음과 같이 하나의 복소수 결합 상수

$\tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}$

로 표기하였을 때, 이 이론은

$\tau \mapsto \tau +1$

에 의하여 불변이며 (즉, $\theta$는 $2\pi$ 주기의 각도), 또한 게이지 군 $G$의, 결합 상수 $\tau$의 초대칭 양-밀스 이론은 게이지 군 $L_{G}$와 결합 상수

$\tau '={\frac {-1}{n_{G}\tau }}$

를 갖는 이론과 동형이다. 여기서 $L_{G}$는 $G$의 랭글랜즈 쌍대군이며, $n_{G}$는 랭글랜즈 쌍대성에 등장하는 정수이다. 특히, $n_{G}=1$인 경우 이는 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )$ 모듈러 군을 이룬다.

몬토넨-올리브 이중성은 IIB종 초끈 이론으로 설명할 수 있다.^:186–187 ${\mathcal {N}}=4$ $U(N)$ 양-밀스 이론은 $N$개의 겹친 D3-막들 위에 존재하는 유효 이론이다. D3-막에는 기본 끈(F-끈)과 D1-막(D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 자기 홀극을 이룬다. IIB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.

AdS/CFT 대응성

 이 부분의 본문은 AdS/CFT 대응성입니다.

AdS/CFT 대응성에 따라, ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 5차원 초구 $\mathbb {S} ^{5}$와 4+1차원 반 더 시터르 공간 $\operatorname {AdS} _{5}$의 곱공간 $\operatorname {AdS} _{5}\times \mathbb {S} ^{5}$ 위에 존재하는 IIB종 초끈 이론과 사실상 같은 이론이라고 추측된다.

적분 가능성

$\operatorname {SU} (N)$ ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론에서, $N\to \infty$ 극한에서 $g$개의 고리(=끈 세계면의 종수)를 갖는 파인먼 도형의 확률 진폭은 $N^{2-2g}$에 비례하게 된다. 즉, 색깔의 수가 매우 클 경우, 오직 낮은 종수의 파인먼 도형만이 살아남게 된다.

이러한 극한에서, 양자장론의 국소적 연산자들은 일종의 스핀 사슬(영어: spin chain) 모형으로 나타내어질 수 있다.

역사

${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 1977년에 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소로 발견되었다.^{:86–88, §5:270, §3}

같은 해에, 양-밀스 이론의 S-이중성은 클라우스 몬토넨(핀란드어: Claus Montonen)과 데이비드 이언 올리브(영어: David Ian Olive)가 1977년에 제시하였다. 몬토넨과 올리브의 원래 가설은 초대칭을 포함하지 않았는데, 이후 1979년에 휴 오즈번(영어: Hugh Osborn)이 이 가설이 성립하려면 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭이 필요함을 지적하였다.^:§1

참고 문헌

• Seiberg, Nathan (1998년 7월). “Notes on theories with 16 supercharges”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 67 (1–3): 158-171. arXiv:hep-th/9705117. Bibcode:1998NuPhS..67..158S. doi:10.1016/S0920-5632(98)00128-5. 
• Gauntlett, Jerome P. (1998년 2월). “Duality and supersymmetric monopoles”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 61 (1–2): 137–148. arXiv:hep-th/9705025. Bibcode:1998NuPhS..61..137G. doi:10.1016/S0920-5632(97)00526-4. 

같이 보기

• S-이중성
• 자이베르그-위튼 이론
• 초끈 이론
• AdS/CFT 대응성