구면기하학

구면기하학(球面幾何學, 영어: spherical geometry)은 2차원 표면의 구의 기하학이다. 유클리드 기하학이 아닌 기하학의 한 예이다. 구면기하학의 원칙을 실용화한 것으로는 항법과 천문학이 있다.

구면(球面)에서 삼각의 합은 180°가 아니다. 구면은 유클리드 공간이 아니지만 아주 작은 공간에 대해서는 유클리드 기하학으로 좋은 근사치를 계산 할 수 있다. 지구 표면의 조그마한 삼각형에서 각들의 합은 거의 180에 가깝다. 구의 표면은 2차원 지도으로 표현할 수 있다. 그러므로 이것은 2차원 다양체이다.

현재는 비유클리드 기하학으로 분류되는 타원기하학의 특수한 경우로 알려져 있다. 그리고 리만 기하학(Riemannian geometry)의 별칭으로 쓰일 때도 있다. 그것은 공리계(公理系)가 구면 위의 기하학과 동등하기 때문이다.

정의

• 구면의 표면 위의 점을 점이라 한다.
• 구의 대원을 직선이라 한다.
• 점을 지나는 직선은 그 두 점이 구의 중심에 대해 대칭되는 위치에 있지 않는 한 하나로 정해진다.
• 두 대원이 만나는 각도를 두 직선의 각도라 한다.

성질

• 모든 서로 다른 두 직선은 두 점에서 만난다.
• 삼각형의 내각의 합이 항상 180도 보다 크고 540도보다 작다.
• 같은 구면 위에 있는 삼각형의 면적비는, 내각의 합에서 180도를 뺀 것의 비이다. (예를 들어, 내각의 합이 190도인 삼각형과 내각의 합이 200도 인 삼각형의 면적비는(190-180):(200-180)=10:20=1:2이다.)
• 같은 구면 위에는 합동을 제외한 닮음은 존재하지 않는다. (세 각이 같은 경우, 내각의 합이 같아 면적이 같다.)
• 구면 기하학에서는 유클리드 기하학에 없는 일각형과 이각형이 존재한다.

같이 보기

• 유클리드 기하학
• 비유클리드 기하학
  • 타원기하학
    • 구면기하학
  • 쌍곡기하학
• 리만 기하학
• 미분기하학
• 구면삼각법

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Spherical Geometry”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.