다포체

도형을 임의의 차원으로 확장한 것

다포체(多胞體, 영어: Polytope 폴리토프[*])는 다각형이나 다면체 등의 도형을 임의의 차원으로 확장한 것을 가리킨다. 차원에서 정의되는 다포체를 n차원 다포체(n-polytope)로 부른다. 예를 들어, 다각형은 2차원 다포체, 다면체는 3차원 다포체, 폴리코론은 4차원 다포체이다.

정의편집

다포체를 정의하는 방법은 다양하며 이 정의의 차이에 따라 포함하는 도형의 범위도 달라진다. 어떠한 경우는 다포체의 정의에 테셀레이션과 같은 무한한 크기의 도형을 포함하기도 하며, 또한 자기 자신을 통과하는 도형을 포함하는 경우도 존재한다.

차원에서 포의 수가 가장 적은 정다포체단체의 경우 6차원 이상의 단체부터는 한 이포각 의 크기가 72° 초과, 90° 미만이다. 그러므로 3개나 4개가 모일 수 있고, 초입방체의 경우에는 무조건 90° 이므로 3개가 모이게 된다. 참고로, 4개가 모이면 다 다포체의 테셀레이션이 된다. 따라서 7차원과 그 이후로는 3 종류의 정다포체 즉, 단체, 초입방체, 정축체와 한 가지의 정규 허니컴만 존재한다. (개수를 합쳐서 총 4개). 여기에서 단체초입방체 벌집자기쌍대이고, 초입방체정축체는 서로 쌍대 관계이다. 단체는 꼭짓점 도형과 셀이 모두 단체이며, 단채 3개가 한 모서리에 모인다. 초입방체는 셀이 초입방체이고, 꼭짓점 도형이 단체인데, 한 모서리에 초입방채 3개가 만난다. 또한 그의 쌍대인 정축체의 경우는 한 모서리에 단체 4개가 만나고, 꼭짓점 도형이 정축체이며, 셀이 단체이다. 그리고 하이퍼 큐브 벌집의 경우 초입방체 4개를 한 모서리에 모이개 하여 만들 수 있으며, 셀이 초입방체이며, 꼭짓점 도형이 이것의 쌍대인 정축체이다. 6차원 이상의 차원의 정축체의 경우는 한 이포각의 크기가 120° 이상이며, 초입방체 허니컴이포각의 크기가 무조건 180°라 이들로는 7차원 이상의 정다포체를 만들 수 없다. (단, 4차원 정다포체에서 정십육포체정이십사포체테서랙트와 마찬가지로, 테셀레이션을 할 수 있다). 대신 차원의 수는 무수히 많이 늘릴 수 있으므로 7차원과 그 이상의 정다포체의 개수는 무수히 많이 있다.

가장 일반적으로 사용하는 정의는 한 단계 아래의 다포체를 이용하는 것이다. 0차원 다포체는 이며, 1차원 다포체는 직선에서 점으로 범위를 제한한 도형, 2차원 다포체는 평면에서 1차원 다포체로 범위를 제한한 도형 등으로 구성한다. 즉, n차원 다포체는  차원 공간에서  차원 다포체로 범위를 제한한 도형을 가리키게 된다.

차원 영어 발음 -
임의 polytope 폴리토프 (다포체)
n n-polytope n-폴리토프 (n차원 다포체)
0 point 포인트
1 segment 세그멘트 선분
2 polygon 폴리곤 다각형
3 polyhedron 폴리헤드론 다면체
4 polychoron 폴리코론 다포체
5 polyteron 폴리테론
6 polypeton 폴리페톤
7 polyexon 폴리엑손
8 polyzetton 폴리제톤
9 polyyotton 폴리요톤
10 polyxetton 폴리세톤
11 polyggopton 폴리꼽톤

다포체를 여러 단체(simplex)를 서로 연결한 도형들의 집합으로 정의하는 경우도 있다. 이때 두 단체의 교집합은 반드시 점, 선, 면 등이어야 한다. 하지만 이 정의는 자기 자신을 통과하는 도형을 허용하지 않는다.

볼록 다포체는 다포체가 볼록 집합을 이루는 경우로 정의한다. 이외에도 유한 개의 점에 대한 최소볼록집합으로 정의할 수 있지만,[1] 이 경우 유계인 다포체만 고려한다는 가정을 포함한다.

출처편집

  1. Grünbaum, Branko (2003). 《Convex polytopes (2nd ed.)》. New York & London: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00424-6. 

n차원 볼록 정다포체 및 볼록 정규 허니컴의 종류편집

정다포체

  • 정축체 {3^^n-2^^, 4} 면 : 단체 | 꼭짓점 : 정축체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 4개, 초입방체의 쌍대
  • 초입방체 {4, 3^^n-2^^} 면 : 초입방체 | 꼭짓점 : 단체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 3개, 정축체의 쌍대
  • 단체 {3^^n-1^^} 면 : 단체 | 꼭짓점 : 단체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 3개이며, 자기쌍대

벌집

  • 큐브 허니컴 {4, 3^^n-(2+1)^^, 4} 면 : 초입방체 | 꼭짓점 : 정축체 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 4개이며, 단체와 마찬가지로 자기쌍대

n차원의 경우 단체는 n+1개의 면과 꼭짓점을 가짐, 초입방체는 2n개의 면과 2^n개의 꼭짓점을 가지고 있으며, 정축체는 이에 쌍대이므로 서로 반대, 입방체 벌집의 경우는 무수히 많은 면과 꼭짓점의 개수를 가지고 있으므로 표현할 수 없다.