올범주

범주론에서 올범주(-範疇, 미국 영어: fibered category, 영국 영어: fibred category, 프랑스어: catégorie fibrée) 또는 그로텐디크 올뭉치(영어: Grothendieck fibration)는 어떤 유일 올림 성질을 만족시켜서 올뭉치와 같은 성질을 보이는 함자이다. 내림 데이터나 스택을 정의할 때 쓰인다.

정의

올범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 한 정의는 보다 개념적으로 명확하며, 준층의 정의의 직접적 일반화이다. 그러나 이는 올범주의 개념을 응용하기에 불필요한 추가 데이터(“쪼갬”)를 담고 있다.
• 다른 정의는 보다 기술적으로 용이하며, 불필요한 데이터를 담고 있지 않지만, 개념적으로 명확하지 않다.

이 두 정의 사이의 차이는 “쪼갬”이라는 데이터에 해당한다. 즉, 둘째 정의에 쪼갬의 데이터를 추가하면, 이는 첫째 정의와 동치이다.

쪼갬을 통한 정의

위상 공간 $B$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 위의 쪼갬을 갖춘 올범주 $\Pi$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $B$의 각 열린집합 $U\subseteq B$에 대하여, 범주 $\Pi (U)$
• 두 열린집합 $U\subseteq V\subseteq B$에 대하여, 함자 $\operatorname {res} _{U}^{V}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)$. 이를 제한 함자(영어: restriction functor)라고 한다.
• 세 열린집합 $U\subseteq V\subseteq W\subseteq B$에 대하여, 함자 $\operatorname {res} _{U}^{V}\circ \operatorname {res} _{V}^{W}$와 $\operatorname {res} _{U}^{W}$ 사이의 자연 동형 $\tau _{U,V,W}\colon \operatorname {res} _{U}^{V}\circ \operatorname {res} _{V}^{W}\Rightarrow \operatorname {res} _{U}^{W}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 네 열린집합 $U\subseteq V\subseteq W\subseteq X$에 대하여, $\tau _{U,V,X}\circ \tau _{V,W,X}=\tau _{U,W,X}\circ \tau _{U,V,W}$

보다 일반적으로, 임의의 범주 ${\mathcal {B}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 위의 쪼갬을 갖춘 올범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\mathcal {B}}$의 대상 $U$에 대하여, 범주 $\Pi (U)$
• 두 대상 사이의 사상 $i\colon U\to V$에 대하여, 함자 $\operatorname {res} _{i}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)$. 이를 제한 함자(영어: restriction functor)라고 한다.
• 두 사상 $U{\xrightarrow {i}}V{\xrightarrow {j}}W$에 대하여, 함자 $\operatorname {res} _{i}\circ \operatorname {res} _{j}$와 $\operatorname {res} _{j\circ i}$ 사이의 자연 동형 $\tau _{i,j}\colon \operatorname {res} _{i}\circ \operatorname {res} _{j}\Rightarrow \operatorname {res} _{j\circ i}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 세 사상 $U{\xrightarrow {i}}V{\xrightarrow {j}}W{\xrightarrow {k}}X$에 대하여, $\tau _{i,k\circ j}\circ \tau _{j,k}=\tau _{j\circ i,k}\circ \tau _{i,j}$

데카르트 사상을 통한 정의

데카르트 사상

함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {E}}$의 사상 $f\colon X\to Y$가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, $f$를 데카르트 사상(Descartes寫像, 영어: Cartesian morphism, 프랑스어: morphisme cartésien)이라고 한다.

임의의

• 사상 $f'\colon X'\to Y$
• ${\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)$

에 대하여, 만약 $\Pi (f)\circ {\hat {g}}=\Pi (f')$라면, $\Pi (g)={\hat {g}}$이며 $f\circ g=f'$인 사상 $g\colon X'\to X$가 유일하게 존재한다.

${\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f}{\to }}&\Pi Y\end{matrix}}\end{matrix}}$

올범주

함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 올범주(영어: fibered category)라고 한다.

• 대상 $Y\in {\mathcal {E}}$ 및 ${\mathcal {B}}$ 속의 임의의 사상 ${\hat {f}}\colon {\hat {X}}\to \Pi (Y)$에 대하여, $\Pi (X)={\hat {X}}$이며 $\Pi (f)={\hat {f}}$인 대상 $X\in {\mathcal {E}}$ 및 데카르트 사상 $f\colon X\to Y$가 존재한다.

  ${\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline \exists X{\overset {\exists f}{\to }}Y&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\hat {X}}{\overset {\hat {f}}{\to }}\Pi Y\end{matrix}}$

이 경우, $f$를 ${\hat {f}}$의 $X$에서의 데카르트 올림(영어: Cartesian lift)이라고 한다. 데카르트 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

올범주의 쪼갬(영어: cleavage, 프랑스어: clivage)은 각 $(X,{\hat {f}})$에 대하여 한 올림을 고르되, 만약 ${\hat {f}}$가 항등 사상일 때 항등 사상을 고른 것이다. 이는 선택 공리에 대하여 항상 존재한다. 이에 따라, ${\mathcal {B}}$의 각 사상 $f\colon U\to V$에 대하여 함자 $\operatorname {res} _{f}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)$가 정의된다.

올범주 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$의, 대상 ${\hat {X}}\in {\mathcal {B}}$ 위의 올(미국 영어: fiber, 영국 영어: fibre, 프랑스어: fibre) ${\mathcal {E}}({\hat {X}})$은 ${\hat {X}}$의 원상과 그 사이의 사상들로 구성된, ${\mathcal {E}}$의 부분 범주이다.

올범주 사상

같은 밑범주를 갖는 두 올범주 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$, $\Pi '\colon {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {B}}$ 사이의 사상은 다음 두 조건을 만족시키는 함자 $F\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}'$이다.

• 조각 범주 $\operatorname {Cat} /{\mathcal {B}}$의 사상이다. 즉, 다음과 같은 함자 가환 그림이 성립한다.

  ${\begin{matrix}{\mathcal {E}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {E}}'\\&{\scriptstyle \Pi }\searrow &\downarrow \scriptstyle \Pi '\\&&{\mathcal {B}}\end{matrix}}$

• 데카르트 사상의 상은 항상 데카르트 사상이다.

${\mathcal {B}}$ 위의 (작은) 올범주와 올범주 사상의 범주를 $\operatorname {Fib} ({\mathcal {B}})$라고 한다.

성질

합성

두 올범주의 합성은 역시 올범주를 이룬다.

작은 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$에서, 다음과 같은 당김이 주어졌다고 하자.

${\begin{matrix}{\mathcal {C}}\times _{\mathcal {B}}{\mathcal {D}}&{\overset {\Pi '}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\mathcal {C}}&{\underset {\Pi }{\to }}&{\mathcal {B}}\\\end{matrix}}$

만약 $\Pi$가 올범주라면 $\Pi '$ 역시 올범주이다. 즉, 올범주성은 당김에 대하여 안정적이다.

분해계

올범주 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$에서, 만약 ${\mathcal {B}}$ 위에 분해계 $({\mathfrak {E}},{\mathfrak {M}})$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.

• ${\mathfrak {E}}'$은 ${\mathcal {E}}$의 사상 가운데, $\Pi$에 대한 상이 ${\mathfrak {E}}$에 속하는 것들의 모임이다.
• ${\mathfrak {M}}'$은 ${\mathcal {E}}$의 데카르트 사상 가운데, $\Pi$에 대한 상이 ${\mathfrak {M}}$에 속하는 것들의 모임이다.

그렇다면, $({\mathfrak {E}}',{\mathfrak {M}}')$은 ${\mathfrak {E}}$ 위의 분해계를 이룬다. 특히, ${\mathcal {E}}$가 동형 사상의 모임이며, ${\mathfrak {M}}$이 모든 사상의 모임이라고 하자. 이는 자명하게 분해계를 이루며, 이 경우 ${\mathfrak {M}}'$은 모든 데카르트 사상의 모임이며 ${\mathfrak {E}}'$은 동형 사상의 원상의 모임이다. 따라서 (동형 사상의 원상, 데카르트 사상)은 올범주의 분해계를 이룬다.

종류

모든 올이 준군을 이루는 올범주를 준군 올범주(準群-範疇, 미국 영어: category fibered in groupoids, 영국 영어: category fibred in groupoids, 프랑스어: catégorie fibrée en groupoïdes)라고 한다. 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 이산 올범주(영어: discretely fibred category)라고 한다.

예

곱 올범주

두 범주 ${\mathcal {C}}$, ${\mathcal {D}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 곱범주 ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$에서 ${\mathcal {C}}$ (또는 ${\mathcal {D}}$)로 사영하는 함자

$\operatorname {proj} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$

$\operatorname {proj} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}$

는 올범주를 이룬다.

조각 범주

범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $B\in {\mathcal {C}}$에 대한 조각 범주 ${\mathcal {C}}/B$를 생각하자. 그렇다면, 사상을 그 정의역으로 대응시키는 망각 함자

${\mathcal {C}}/B\to {\mathcal {C}}$

$(X{\xrightarrow {f}}B)\mapsto X$

${\begin{pmatrix}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\&\searrow &\downarrow \\&&B\end{pmatrix}}\mapsto (X{\xrightarrow {f}}Y)$

는 이산 올범주를 이룬다. 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 위의 올은 사상 모임 (이산 범주) $\hom _{\mathcal {C}}(X,B)$이다.

이는 사실 표현 가능 준층

$\hom _{\mathcal {C}}(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

에 그로텐디크 구성을 가한 것이다.

공역 올범주

범주 ${\mathcal {C}}$가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {C}}$의 화살표 범주 ${\mathcal {C}}^{\to }$를 생각하자. 사상을 그 공역으로 대응시키는 함자

$\operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}^{\to }\to {\mathcal {C}}$

$\operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon (A{\overset {f}{\to }}B)\mapsto B$

$\operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon \left({\begin{matrix}A&{\overset {f}{\to }}&B\\{\scriptstyle h}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle k\\C&{\underset {g}{\to }}&D\end{matrix}}\right)\mapsto (B{\overset {k}{\to }}D)$

를 생각하자. 이는 올범주를 이루며,^{:Example 3.15} 사상 $f\colon A\to B$의, $g\in {\mathcal {C}}^{\to }$ ($g\colon C\to B$)에서의 올림은 다음과 같은 ($A\times _{B}C\to A$에서 $g$로 가는 ${\mathcal {C}}^{\to }$의 사상으로 간주한) 당김이다.

${\begin{matrix}{\begin{matrix}A\times _{B}C&\to &C\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle g\\A&{\underset {f}{\to }}&B\end{matrix}}\end{matrix}}$

그로텐디크 구성

작은 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$로 가는 함자

$F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat}$

가 주어졌을 때, ${\mathcal {C}}$ 위의 그로텐디크 구성(영어: Grothendieck construction) ${\mathcal {C}}\textstyle \int F$를 다음과 같이 정의하자.

• ${\mathcal {C}}\textstyle \int F$의 대상 $(X,x)$은 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$와 $F(X)$의 대상 $x\in F(X)$의 순서쌍이다.
• ${\mathcal {C}}\textstyle \int F$의 사상 $(f,\phi )\colon (X,x)\to (X',x')$은 ${\mathcal {C}}$의 사상 $f\colon X\to X'$과 $F(X)$의 사상 $x\to Ff(x')$의 순서쌍이다.

그렇다면, ${\mathcal {C}}\textstyle \int F$는 ${\mathcal {C}}$ 위의 올범주를 이룬다. $X\in {\mathcal {C}}$ 위의 올은 작은 범주 $F(X)$이다.

가군 범주

범주 $\operatorname {Mod}$를 다음과 같이 정의하자.

• $\operatorname {Mod}$의 대상 $(R,M)$은 가환환 $R$와 그 위의 가군 $M$의 순서쌍이다.
• $\operatorname {Mod}$의 사상 $(f,\phi )\colon (R,M)\to (R',M')$은 환 준동형 $f\colon R\to R'$과 $R$-가군 준동형 $\phi \colon M\to f^{*}M'$의 순서쌍이다.

그렇다면, $\operatorname {Mod}$는 가환환 범주 $\operatorname {CRing}$ 위의 올범주를 이룬다. 가환환 $R$ 위의 올은 $R$-가군들의 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$이다.

이는 가환환을 가군 아벨 범주로 대응시키는 함자

$M\colon \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat}$

$M\colon R\mapsto \operatorname {Mod} _{R}$

$M\colon (f\colon R\to S)\mapsto (f^{*}\colon \operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{R})$

에 대한 그로텐디크 구성이다. 즉, 이 올범주의 올은 $\operatorname {Mod} _{R}$이다.

준연접층

범주 $\operatorname {QCoh}$를 다음과 같이 정의하자.

• $\operatorname {QCoh}$의 대상 $(X,{\mathcal {F}})$는 스킴 $X$와 그 위의 준연접층 ${\mathcal {F}}$의 순서쌍이다.
• $\operatorname {QCoh}$의 사상 $(f,\phi )\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$는 스킴 사상 $f\colon X\to Y$과 층 사상 $\phi \colon {\mathcal {F}}\to f^{*}{\mathcal {G}}$의 순서쌍이다.

그렇다면, 스킴의 범주로 가는 망각 함자 $\operatorname {QCoh} \to \operatorname {Sch}$는 올범주를 이룬다.^{:53–55, §3.2.1} 이는 스킴을 준연접층 아벨 범주로 대응시키는 함자

$\operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat}$

$X\mapsto \operatorname {QCoh} _{X}$

에 대한 그로텐디크 구성이다. 이 경우, 임의의 두 스킴 사상 $X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z$에 대하여, 자연 동형

$f^{*}\circ g^{*}\Rightarrow (g\circ f)^{*}$

이 존재한다.

(만약 $\operatorname {Sch}$ 위에 fpqc 위상을 부여한다면, 이는 스택을 이룬다.)

원소 범주

모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다.

집합의 범주 $\operatorname {Set}$로 가는 함자

$F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

가 주어졌을 때, ${\mathcal {C}}$ 위의 원소 범주(영어: category of elements) ${\mathcal {C}}\textstyle \int F$를 다음과 같이 정의하자.

• ${\mathcal {C}}\textstyle \int F$의 대상 $(X,x)$은 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$와 $F(X)$의 원소 $x\in F(X)$의 순서쌍이다.
• ${\mathcal {C}}\textstyle \int F$의 사상 $f\colon (X,x)\to (X',x')$은 $Ff\colon x'\mapsto x$을 만족시키는 ${\mathcal {C}}$의 사상 $f\colon X\to X'$이다.

그렇다면, ${\mathcal {C}}\textstyle \int F$는 ${\mathcal {C}}$ 위의 이산 올범주를 이룬다. $X\in {\mathcal {C}}$ 위의 올은 (이산 범주로 간주한) 집합 $F(X)$이다.

원소 범주 구성은 함자 $F$의 치역이 모두 작은 이산 범주일 때의, 그로텐디크 구성의 특수한 경우이다.

부분 대상 범주

모든 부분 순서 집합은 작은 얇은 범주로 생각할 수 있다.

모든 당김을 갖는 작은 범주 ${\mathcal {C}}$에 대하여, 부분 순서 집합의 범주 $\operatorname {Poset}$로 가는 다음과 같은 함자를 생각하자.

$\operatorname {Sub} \colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Poset}$

$\operatorname {Sub} \colon X\mapsto \operatorname {Sub} (X)$

$\operatorname {Sub} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^{*}\colon \operatorname {Sub} (Y)\to \operatorname {Sub} (X)\right)$

여기서 $\operatorname {Sub} (X)$는 $X$의 부분 대상들의 부분 순서 집합이며, $f^{*}$은 단사 사상의 당김이다 (단사 사상은 당김에 의하여 보존된다). 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가할 수 있으며, 이를 부분 대상 올범주 $\operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})$라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

• $\operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})$의 대상 $(X,x)$은 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$와 그 부분 대상 $x\in \operatorname {Sub} (X)$의 순서쌍이다.
• $\operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})$의 사상 $f\colon (X,x)\to (X',x')$은 $x\leq f^{*}(x')$을 만족시키는 ${\mathcal {C}}$-사상 $f\colon X\to X'$이다.

이는 ${\mathcal {C}}$ 위의 올범주를 이루며, $X\in {\mathcal {C}}$ 위의 올은 $\operatorname {Sub} (X)$이다.

위상 함자

 이 부분의 본문은 위상 함자입니다.

모든 위상 함자는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다.

올다발

올다발의 범주 $\operatorname {Bun}$을 생각하자. 그 대상은 올다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow B$이며, 그 사상은 다발 사상

${\begin{matrix}E&{\overset {f}{\to }}&E'\\{\scriptstyle \!\!\!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!\!\!}&&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi '\!\!\!\!}\\B&{\underset {g}{\to }}&B'\end{matrix}}$

이다. 이 경우, 밑공간으로 가는 망각 함자

$\operatorname {codom} \colon \operatorname {Bun} \to \operatorname {Top}$

$\operatorname {codom} \colon (E\,{\xrightarrow {\pi }}\,B)\mapsto B$

$\operatorname {codom} \colon \left({\begin{smallmatrix}E&{\overset {f}{\to }}&E'\\{\scriptstyle \!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!}&&{\scriptstyle \!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi '\!\!}\\B&{\underset {g}{\to }}&B'\end{smallmatrix}}\right)\mapsto g$

는 올범주이다. 위상 공간 $B$ 위의 올은 $B$ 위의 올다발과, 밑공간에 대하여 항등 함수인 올다발 사상의 범주 $\operatorname {Bun} _{B}$이다.

이 함자의 쪼갬은 사상 $g\colon B\to B'$에 대하여 올다발의 당김 함자 $g^{*}\colon \operatorname {Bun} _{B'}\to \operatorname {Bun} _{B}$를 고르는 것에 대응한다.

마찬가지로, 벡터 다발의 범주 $\operatorname {Vect}$ 역시 위상 공간의 범주 위의 올범주

$\operatorname {codom} \colon \operatorname {Vect} \to \operatorname {Top}$

를 이룬다.

모든 위상 공간의 범주 대신, 한 위상 공간 $X$의 열린집합들의 범주 $\operatorname {Open} (X)$를 생각하자. 그렇다면 마찬가지로 $X$의 열린집합에 정의된 올다발 또는 벡터 다발의 범주의 망각 함자

$\operatorname {Bun} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)$

$\operatorname {Vect} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)$

역시 올범주를 이룬다.

(이 함자에서, 밑범주를 위상 공간의 범주 또는 주어진 위상 공간의 열린집합의 범주 대신 다양체의 범주로 잡으면, 이는 더 이상 올범주가 아니다. 이는 다양체의 범주에서는 올곱이 존재하지 않기 때문이다.)

층

범주 $\operatorname {Sh}$가 다음과 같다고 하자.

• 그 대상은 순서쌍 $(X,{\mathcal {F}})$이다. 여기서 $X$는 위상 공간이며 ${\mathcal {F}}$는 그 위의 (집합 값의) 층이다.
• 그 사상 $(f,\phi )\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$은 연속 함수 $X\to Y$와 층 사상 ${\mathcal {F}}\to f^{*}{\mathcal {G}}$로 주어진다. 만약 층을 에탈레 공간으로 생각할 경우, 이는 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.

  ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}&{\overset {f}{\to }}&{\mathcal {G}}\\{\scriptstyle \!\!\!\!\pi _{\mathcal {F}}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!\!\!}&&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi _{\mathcal {G}}\!\!\!\!}\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}$

즉, 에탈레 공간 구성에 따라서 $\operatorname {Sh}$는 화살표 범주 $\operatorname {Top} ^{\to }$의 부분 범주로 여길 수 있다.

그렇다면, 위상 공간으로 가는 망각 함자는 올범주를 이룬다. 이 경우 위상 공간 $X$ 위의 올은 $X$ 위의 층들의 범주 $\operatorname {Sh} (X)$이다.

마찬가지로, 임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 그 열린집합의 범주 $\operatorname {Open} (X)$ 및 열린집합에 정의된 층의 범주 $\operatorname {Sh} _{\operatorname {Open} (X)}$를 생각할 수 있다. 그렇다면 망각 함자 $\operatorname {Sh} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)$ 역시 올범주이다.

위 정의에서, 집합 값의 층 대신 군이나 아벨 군이나 환이나 가환환 (또는 일반적으로 대수 구조 다양체) 값의 층을 사용하여도 마찬가지다.

역사

올범주는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권 (SGA1) 6장^{:164–165, Définition 6.1}에서 도입되었다. 원래 SGA1에서는 "데카르트 사상"을 위의 정의보다 더 약하게 정의하였지만,^{:161, Définition 5.1} 이후 더 강한 조건을 만족시키는 정의가 더 널리 쓰이게 되었다. (올범주의 정의는 데카르트 사상의 두 정의에 상관없이 동치이다.)

외부 링크

• Stover, Christopher. “Fibered category”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Stover, Christopher. “Fibered category morphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Stover, Christopher. “Presheaf of categories”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Grothendieck fibration”. 《nLab》 (영어). 
• “Prefibered category”. 《nLab》 (영어). 
• “Cartesian morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Cleavage”. 《nLab》 (영어). 
• “Codomain fibration”. 《nLab》 (영어). 
• “Grothendieck construction”. 《nLab》 (영어). 
• “Discrete fibration”. 《nLab》 (영어). 
• “Fibration fibered in groupoids”. 《nLab》 (영어). 
• Hofstra, Pieter J. W. (2008년 6월 1일). “Fibrations and proofs” (PDF) (영어). 2016년 3월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 22일에 확인함. 
• “Why is a cartesian morphism called cartesian?” (영어). StackExchange.