단체 리 대수

호모토피 이론에서 단체 리 대수(單體Lie代數, 영어: simplicial Lie algebra)는 리 대수의 범주 속의 단체 대상이다. 즉, 단체 집합 구조로 주어지며 리 괄호와 호환되는 위상을 갖춘 리 대수이다.^[1]^:§Ⅰ.4

정의

가환환 $K$ 가 주어졌다고 하자. $K$ -단체 리 대수는 $K$ -리 대수의 범주 $\operatorname {LieAlg} _{K}$ 속의 단체 대상이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

각 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여, $K$ -리 대수 ${\mathfrak {g}}_{n}$
${\mathfrak {g}}_{\bullet }$ 위의 단체 집합 구조 $\partial _{\bullet }^{n}\colon {\mathfrak {g}}_{n}\to {\mathfrak {g}}_{n-1}$ , $s_{\bullet }^{n}\colon {\mathfrak {g}}_{n}\to {\mathfrak {g}}_{n+1}$ . 또한, 함수들은 모두 $K$ -리 대수 준동형이어야 한다.

단체 리 대수의 범주에서, $K$ -리 대수 → $K$ -가군 망각 함자

\operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {Mod} _{K}

를 통해, 망각 함자

[\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K}]\simeq \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})

를 정의할 수 있다. 여기서 $\operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})$ 는 자연수 등급의 $K$ -가군 사슬 복합체의 아벨 범주이며, 마지막 범주의 동치는 돌트-칸 대응이다. 이 망각 함자를

\mathrm {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})

라고 하자.

$K$ 가 표수 0의 체라고 하자. 그렇다면, 단체 리 대수 ${\mathfrak {g}}_{\bullet }$ 에 대하여, 사슬 복합체 $(\mathrm {N} {\mathfrak {g}})_{\bullet }$ 위에 다음과 같은 리 괄호를 줄 수 있다.

\mathrm {N} {\mathfrak {g}}\otimes _{K}\mathrm {N} {\mathfrak {g}}\to \mathrm {N} ({\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}})\to \mathrm {N} {\mathfrak {g}}

여기서 첫째 사상은 에일렌베르크-질버 사상이며, 둘째 사상은 성분별로 리 괄호를 취하는 것이다.

그렇다면, $(\mathrm {N} {\mathfrak {g}})_{\bullet }$ 는 $K$ -미분 등급 리 대수를 이룬다. 이는 함자

\operatorname {N} \colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\to \operatorname {dgLieAlg} _{K}

를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자

\operatorname {N} ^{*}\colon \operatorname {dgLieAlg} _{K}\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]\colon \operatorname {N}

를 가진다. 구체적으로,

\operatorname {N} ^{*}{\mathfrak {g}}={\frac {\operatorname {Free_{LieAlg}} (\mathrm {N} ^{-1}{\mathfrak {g}})}{\mathfrak {I}}}

이다. 여기서

$\operatorname {Free_{LieAlg}} \colon \operatorname {Mod} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}$ 는 자유 리 대수 함자이다.
$(\operatorname {Free_{LieAlg}} \circ )\colon [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K}]\to [\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {LieAlg} _{K}]$ 는 단체 가군에서 단체 리 대수로 가는, 성분별 자유 리 대수 함자이다.
${\mathfrak {I}}$ 는 $\{[[\mathrm {N} ^{-1}x,\mathrm {N} ^{-1}y]]-\mathrm {N} ^{-1}[x,y]\colon x\in {\mathfrak {g}}_{m},\,y\in {\mathfrak {g}}_{n}\}$ 로 생성되는 단체 리 대수 아이디얼이다.
- 여기서 $[[-,-]]\colon \mathrm {g} _{m}\otimes {\mathfrak {g}}_{n}\to {\mathfrak {g}}_{m+n}$ 은 에일렌베르크-질버 사상 ${\mathfrak {g}}_{m}\otimes {\mathfrak {g}}_{n}\to ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})_{m+n}$ 을 취한 뒤 각 성분별 리 괄호 $({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})_{m+n}\to {\mathfrak {g}}_{m+n}$ 를 취한 것이다.