해석학 에서 함수의 극한 (영어 : limit of a function )은 독립 변수 가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극한은 존재할 수도(수렴), 존재하지 않을 수도(발산) 있다. 실수 를 비롯한 거리 공간 의 경우, 함수의 극한 개념은 엡실론-델타 논법 을 사용하여 엄밀히 정의된다. 임의의 위상 공간 에서도 함수의 극한을 정의할 수 있다.
일변수 함수
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열린구간 I ∋ a {\displaystyle I\ni a} 실수 함수 f : I ∖ { a } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} 극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} }
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} f ( x ) → L ( x → a ) {\displaystyle f(x)\to L\quad (x\to a)} 정의에 따라, a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a}
단측 극한
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단측 극한 (單側極限, 영어 : one-sided limit ) 또는 한쪽 극한 은 보다 더 약한 개념의 극한이며, 좌극한 (左極限, 영어 : left-handed limit )과 우극한 (右極限, 영어 : right-handed limit )으로 나뉜다. 이들은 다음과 같이 정의된다. 실수 함수 f : ( b , a ) → R {\displaystyle f\colon (b,a)\to \mathbb {R} } a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} 좌극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} }
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < a − x < δ {\displaystyle 0<a-x<\delta } | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
lim x → a − 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a-0}f(x)=L} lim x → a − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L} 비슷하게, 실수 함수 f : ( a , b ) → R {\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} } a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} 우극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} }
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < x − a < δ {\displaystyle 0<x-a<\delta } | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
lim x → a + 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a+0}f(x)=L} lim x → a + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L} 일정 범위 안에서의 극한
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정의역의 특정 부분 집합에서 취하는 값들만을 생각하는 극한을 정의할 수 있다. 열린구간 I {\displaystyle I} 실수 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } I {\displaystyle I} E ⊆ I {\displaystyle E\subseteq I} 극한점 a ∈ E ′ {\displaystyle a\in E'} E {\displaystyle E} a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} 극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수 L = lim E ∋ x → a f ( x ) ∈ R {\displaystyle L=\lim _{E\ni x\to a}f(x)\in \mathbb {R} }
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} x ∈ E {\displaystyle x\in E} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 좌극한과 우극한은 이런 극한의 특수한 경우이다. 물론 유리수 점에서의 값들만을 생각하는 등 더 다양한 경우가 존재한다. 만약 I ∖ { a } ⊆ E {\displaystyle I\setminus \{a\}\subseteq E} I ∋ a {\displaystyle I\ni a} E ∋ {\displaystyle E\ni }
무한대에서의 극한
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실수 점 대신 무한대 점에서의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 실수 함수 f : ( b , ∞ ) → R {\displaystyle f\colon (b,\infty )\to \mathbb {R} } f {\displaystyle f} 극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수 L = lim x → ∞ f ( x ) ∈ R {\displaystyle L=\lim _{x\to \infty }f(x)\in \mathbb {R} }
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} M > 0 {\displaystyle M>0} x > M {\displaystyle x>M} | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 비슷하게, 실수 함수 f : ( − ∞ , b ) → R {\displaystyle f\colon (-\infty ,b)\to \mathbb {R} } f {\displaystyle f} 극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수 L = lim x → − ∞ f ( x ) ∈ R {\displaystyle L=\lim _{x\to -\infty }f(x)\in \mathbb {R} }
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} M > 0 {\displaystyle M>0} x < − M {\displaystyle x<-M} | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } 무한대 값 극한
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실수 극한 대신 무한대 극한을 정의할 수 있다. 다만, 무한대 극한은 더 넓은 의미의 극한이다. 다시 말해, 무한대 극한을 갖는 경우 극한이 존재한다고 보지 않는다. 열린구간 I ∋ a {\displaystyle I\ni a} f : I ∖ { a } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} lim x → a f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty }
임의의 M > 0 {\displaystyle M>0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } f ( x ) > M {\displaystyle f(x)>M} 비슷하게, f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} f {\displaystyle f} lim x → a f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty }
임의의 M > 0 {\displaystyle M>0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } f ( x ) < − M {\displaystyle f(x)<-M} 이와 마찬가지로, 무한대 좌극한 · 무한대 우극한 · 무한대에서의 무한대 극한 등을 정의할 수 있다.
극한의 종류가 많으므로 가장 일반적인 경우만을 생각하자. (좌극한 · 우극한 · 범위 안 극한 · 무한대에서의 극한 · 무한대 극한의 성질도 이와 비슷하다.)
어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하다. 이는 함수의 극한에 표기 lim {\displaystyle \lim }
열린구간 I ∋ a {\displaystyle I\ni a} f : I ∖ { a } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } 동치 이다.
(극한 존재) lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}
(좌극한과 우극한 존재 및 일치) lim x → a + 0 f ( x ) = lim x → a − 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a+0}f(x)=\lim _{x\to a-0}f(x)=L}
(상극한과 하극한 존재 및 일치) lim sup x → a f ( x ) = lim inf x → a f ( x ) = L {\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\liminf _{x\to a}f(x)=L}
('닿지 않는' 수열의 극한 보존) 모든 ( x n ) n ∈ N ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}} lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} lim n → ∞ f ( x n ) = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L}
('닿지 않는' 수열의 극한 보존) 다음 두 조건을 만족시킨다.
모든 ( x n ) n ∈ N ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}} lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} lim n → ∞ f ( x n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})}
어떤 ( x n ) n ∈ N ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}} lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} lim n → ∞ f ( x n ) = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L} 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 함수는 그 점에서 국소 유계 함수이다. 즉, 열린구간 I ∋ a {\displaystyle I\ni a} a {\displaystyle a} f : I ∖ { a } → R {\displaystyle f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} } 빠진 근방 J ∖ { a } ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}} M > 0 {\displaystyle M>0}
임의의 x ∈ J ∖ { a } {\displaystyle x\in J\setminus \{a\}} | f ( x ) | < M {\displaystyle |f(x)|<M} 함수의 극한은 순서를 보존한다. 즉, 열린구간 I ∋ a {\displaystyle I\ni a} a {\displaystyle a} f , g : I ∖ { a } → R {\displaystyle f,g\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }
어떤 빠진 근방 J ∖ { a } ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}} f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq g(x)} lim x → a f ( x ) ≤ lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}g(x)}
lim x → a f ( x ) < lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)<\lim _{x\to a}g(x)} J ∖ { a } ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}} f ( x ) < g ( x ) {\displaystyle f(x)<g(x)} 함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다. 즉, 열린구간 I ∋ a {\displaystyle I\ni a} a {\displaystyle a} f , g : I ∖ { a } → R {\displaystyle f,g\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} }
lim x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim x → a f ( x ) + lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)} lim x → a ( f ( x ) − g ( x ) ) = lim x → a f ( x ) − lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)} lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\lim _{x\to a}f(x)\lim _{x\to a}g(x)} 만약 추가로 어떤 빠진 근방 J ∖ { a } ⊆ I ∖ { a } {\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}} g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0}
lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) lim x → a g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)}}}
함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법 을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
lim x → a { f ( x ) + g ( x ) } = α + β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)+g(x)\right\}=\alpha +\beta } 삼각 부등식 에 의하여
| f ( x ) + g ( x ) − ( α + β ) | = | ( f ( x ) − α ) + ( g ( x ) − β ) | ≤ | f ( x ) − α | + | g ( x ) − β | {\displaystyle |f(x)+g(x)-(\alpha +\beta )|=|(f(x)-\alpha )+(g(x)-\beta )|\leq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |} 가 성립한다.
모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } ϵ 2 > 0 {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}>0} | x − a | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − α | < ϵ 2 {\displaystyle |x-a|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-\alpha |<{\frac {\epsilon }{2}}} | x − a | < δ 2 ⇒ | g ( x ) − β | < ϵ 2 {\displaystyle |x-a|<\delta _{2}\Rightarrow |g(x)-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}} δ 1 {\displaystyle \delta _{1}} δ 2 {\displaystyle \delta _{2}}
δ {\displaystyle \delta } min ( δ 1 , δ 2 ) {\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2})} 0 < δ ≤ δ 1 {\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1}} 0 < δ ≤ δ 2 {\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{2}} | { f ( x ) + g ( x ) } − ( α + β ) | ≤ | f ( x ) − α | + | g ( x ) − β | < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ {\displaystyle |\left\{f(x)+g(x)\right\}-(\alpha +\beta )|\leq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon } 다시 말해 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) + g ( x ) − ( α + β ) | < ϵ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |{f(x)+g(x)}-(\alpha +\beta )|<\epsilon }
그러므로 극한에 정의에 의하여 lim x → a { f ( x ) + g ( x ) } = α + β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)+g(x)\right\}=\alpha +\beta } lim x → a f ( x ) g ( x ) = α β {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta } 증명하고자 하는 명제의 결론은 다음과 같다. 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) g ( x ) − α β | < ϵ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|<\epsilon }
여기서 α g ( x ) {\displaystyle \alpha g(x)} | f ( x ) g ( x ) − α β | = | f ( x ) g ( x ) − α g ( x ) + α g ( x ) − α β | = | { f ( x ) − α } g ( x ) + α { g ( x ) − β } | {\displaystyle \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|=\left|f(x)g(x)-\alpha g(x)+\alpha g(x)-\alpha \beta \right|=\left|\left\{f(x)-\alpha \right\}g(x)+\alpha \left\{g(x)-\beta \right\}\right|}
삼각 부등식 을 사용한다면 | f ( x ) g ( x ) − α β | ≤ | { f ( x ) − α } g ( x ) | + | α { g ( x ) − β } | = | f ( x ) − α | | g ( x ) | + | α | | g ( x ) − β | {\displaystyle \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|\leq \left|\left\{f(x)-\alpha \right\}g(x)\right|+\left|\alpha \left\{g(x)-\beta \right\}\right|=\left|f(x)-\alpha \right|\left|g(x)\right|+\left|\alpha \right|\left|g(x)-\beta \right|} 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } ϵ 2 ( 1 + | α | ) > 0 , 1 > 0 , ϵ 2 ( 1 + | β | ) > 0 {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}}>0,~1>0,~{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}>0} 0 < | x − a | < δ 1 ⇒ | g ( x ) − β | < ϵ 2 ( 1 + | α | ) , 0 < | x − a | < δ 2 ⇒ | g ( x ) − β | < 1 , {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}\Rightarrow \left|g(x)-\beta \right|<{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}},~0<\left|x-a\right|<\delta _{2}\Rightarrow \left|g(x)-\beta \right|<1,} 0 < | x − a | < δ 3 ⇒ | f ( x ) − α | < ϵ 2 ( 1 + | β | ) {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{3}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}} δ 1 , δ 2 , δ 3 {\displaystyle \delta _{1},~\delta _{2},~\delta _{3}}
삼각 부등식 에 의해 | g ( x ) | = | g ( x ) − β + β | ≤ | g ( x ) − β | + | β | < 1 + | β | {\displaystyle \left|g(x)\right|=\left|g(x)-\beta +\beta \right|\leq \left|g(x)-\beta \right|+\left|\beta \right|<1+\left|\beta \right|} δ {\displaystyle \delta } min ( δ 1 , δ 2 , δ 3 ) {\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3})} 0 < δ ≤ δ 1 , 0 < δ ≤ δ 2 , 0 < δ ≤ δ 3 {\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2},~0<\delta \leq \delta _{3}} | f ( x ) g ( x ) − α β | ≤ | f ( x ) − α | | g ( x ) | + | α | | g ( x ) − β | < ϵ 2 ( 1 + | β | ) ( 1 + | β | ) + | α | ϵ 2 ( 1 + | α | ) < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|&\leq &\left|f(x)-\alpha \right|\left|g(x)\right|+\left|\alpha \right|\left|g(x)-\beta \right|\\&<&{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}\left(1+\left|\beta \right|\right)+\left|\alpha \right|{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}}\\&<&{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=&\epsilon \end{array}}} 다시 말해 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) g ( x ) − α β | < ϵ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|<\epsilon }
그러므로 극한에 정의에 의하여 lim x → a f ( x ) g ( x ) = α β {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta } lim x → a k = k {\displaystyle \lim _{x\to a}k=k} k {\displaystyle k} 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } | x − a | < 1 ⇒ | k − k | = 0 < ϵ {\displaystyle \left|x-a\right|<1\Rightarrow \left|k-k\right|=0<\epsilon }
그러므로 극한에 정의에 의하여 lim x → a k = k {\displaystyle \lim _{x\to a}k=k} lim x → a k f ( x ) = k α {\displaystyle \lim _{x\to a}kf(x)=k\alpha } k {\displaystyle k} 상수 )
g ( x ) = k {\displaystyle g(x)=k} lim x → a g ( x ) = lim x → a k = k {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}k=k} lim x → a k f ( x ) = lim x → a g ( x ) f ( x ) = k α {\displaystyle \lim _{x\to a}kf(x)=\lim _{x\to a}g(x)f(x)=k\alpha } 이다. lim x → a { f ( x ) − g ( x ) } = α − β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\alpha -\beta } c = − 1 {\displaystyle c=-1} lim x → a ( − 1 ) g ( x ) = ( − 1 ) ⋅ β = − β {\displaystyle \lim _{x\to a}(-1)g(x)=(-1)\cdot \beta =-\beta } lim x → a { f ( x ) − g ( x ) } = lim x → a { f ( x ) + ( − 1 ) g ( x ) } = α + ( − β ) = α − β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\lim _{x\to a}\left\{f(x)+(-1)g(x)\right\}=\alpha +(-\beta )=\alpha -\beta } 그러므로 lim x → a { f ( x ) − g ( x ) } = α − β {\displaystyle \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\alpha -\beta } lim x → a g ( x ) f ( x ) = β α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {\beta }{\alpha }}} f ( x ) ≠ 0 , α ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0,\alpha \neq 0} 증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 증명하자. lim x → a 1 f ( x ) = 1 α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{\alpha }}}
모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } | α | 2 > 0 , α 2 2 ϵ > 0 {\displaystyle {\frac {\left|\alpha \right|}{2}}>0,~{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon >0} | x − a | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − α | < | α | 2 , | x − a | < δ 2 ⇒ | f ( x ) − α | < α 2 2 ϵ {\displaystyle \left|x-a\right|<\delta _{1}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}},~\left|x-a\right|<\delta _{2}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon } δ 1 , δ 2 {\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}}
| f ( x ) − α | < | α | 2 {\displaystyle \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}} 삼각 부등식 에 의하여 | α | = | α − f ( x ) + f ( x ) | ≤ | α − f ( x ) | + | f ( x ) | = | f ( x ) − α | + | f ( x ) | < | α | 2 + | f ( x ) | {\displaystyle \left|\alpha \right|=\left|\alpha -f(x)+f(x)\right|\leq \left|\alpha -f(x)\right|+\left|f(x)\right|=\left|f(x)-\alpha \right|+\left|f(x)\right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}+\left|f(x)\right|} | f ( x ) | > | α | 2 {\displaystyle \left|f(x)\right|>{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}} 따라서 1 | α f ( x ) | = 1 | α | | f ( x ) | < 1 | α | ⋅ 2 | α | = 2 α 2 {\displaystyle {\frac {1}{\left|\alpha f(x)\right|}}={\frac {1}{\left|\alpha \right|\left|f(x)\right|}}<{\frac {1}{\left|\alpha \right|}}\cdot {\frac {2}{\left|\alpha \right|}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}}
δ {\displaystyle \delta } min ( δ 1 , δ 2 ) {\displaystyle \min(\delta _{1},\delta _{2})} 0 < δ ≤ δ 1 , 0 < δ ≤ δ 2 {\displaystyle 0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2}} | 1 f ( x ) − 1 α | = | α − f ( x ) | | α f ( x ) | < 2 α 2 ⋅ α 2 2 ϵ = ϵ {\displaystyle \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|={\frac {\left|\alpha -f(x)\right|}{\left|\alpha f(x)\right|}}<{\frac {2}{\alpha ^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon =\epsilon } 다시 말해 모든 양의 실수 ϵ {\displaystyle \epsilon } δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − a | < δ ⇒ | 1 f ( x ) − 1 α | < ϵ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|<\epsilon }
그러므로 극한의 정의에 의하여 lim x → a 1 f ( x ) = 1 α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{\alpha }}}
위에서 증명한 보조정리와 4번 성질을 적용시키자.
lim x → a g ( x ) f ( x ) = lim x → a g ( x ) ( 1 f ( x ) ) = β ⋅ 1 α = β α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}=\lim _{x\to a}g(x)\left({\frac {1}{f(x)}}\right)=\beta \cdot {\frac {1}{\alpha }}={\frac {\beta }{\alpha }}}
그러므로 lim x → a g ( x ) f ( x ) = β α {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {\beta }{\alpha }}}
그 밖에, 함수의 극한에 대하여 로피탈의 정리 가 성립한다.
함수의 극한의 예는 다음과 같다.
(상수 함수 의 극한) lim x → a c = c {\displaystyle \lim _{x\to a}c=c}
(유리 함수 의 극한) lim x → ∞ a n x n + ⋯ + a 1 x + a 0 b m x m + ⋯ + b 1 x + b 0 = { ∞ n > m a n b m n = m 0 n < m ( n , m ∈ N ; a n , b m > 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\begin{cases}\infty &n>m\\{\frac {a_{n}}{b_{m}}}&n=m\\0&n<m\end{cases}}\qquad (n,m\in \mathbb {N} ;\;a_{n},b_{m}>0)}
(오일러의 수 ) lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}
(동위 무한소) lim x → 0 sin x x = lim x → 0 e x − 1 x = lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}
(고위 무한소) lim x → ∞ log a x x p = lim x → ∞ x p b x = 0 ( a , b > 1 ; p > 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{p}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{p}}{b^{x}}}=0\qquad (a,b>1;\;p>0)} 다음과 같은 등위 무한소 기호를 도입하자.
f ∼ g ( x → 0 ) ⟺ lim x → 0 f ( x ) = lim x → 0 g ( x ) = 0 ; lim x → 0 f ( x ) g ( x ) = 1 {\displaystyle f\sim g\quad (x\to 0)\iff \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}g(x)=0;\;\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1} 그렇다면, 다음과 같은 관계들이 성립한다.
x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ e x − 1 ∼ ln ( 1 + x ) ( x → 0 ) {\displaystyle x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim e^{x}-1\sim \ln(1+x)\quad (x\to 0)} a x − 1 ∼ x ln a ( x → 0 ) ( a > 0 ) {\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a\quad (x\to 0)\qquad (a>0)} ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x ( x → 0 ) ( a > 0 ) {\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax\quad (x\to 0)\qquad (a>0)} 1 − cos x ∼ 1 2 x 2 ( x → 0 ) {\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {1}{2}}x^{2}\quad (x\to 0)} tan x − sin x ∼ 1 2 x 3 ( x → 0 ) {\displaystyle \tan x-\sin x\sim {\frac {1}{2}}x^{3}\quad (x\to 0)} 다변수 함수
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유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 연결 열린집합 a ∈ D ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} f : D ∖ { a } → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon D\setminus \{\mathbf {a} \}\to \mathbb {R} ^{m}} a {\displaystyle \mathbf {a} } f {\displaystyle \mathbf {f} } 극한 은 다음 조건을 만족시키는 점 L = lim x → a f ( x ) ∈ R m {\displaystyle \mathbf {L} =\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{m}}
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < ‖ x − a ‖ R n < δ {\displaystyle 0<\Vert \mathbf {x} -\mathbf {a} \Vert _{\mathbb {R} ^{n}}<\delta } ‖ f ( x ) − L ‖ R m < ϵ {\displaystyle \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}<\epsilon } 또한, 점 a {\displaystyle \mathbf {a} } f {\displaystyle \mathbf {f} } 다중 극한 은 반복적으로 각각의 변수에 대하여 극한을 취한 것이다. 즉, 다음과 같다. (다중 극한과 극한은 서로 필요 조건도 아니고 충분 조건도 아니다.)
lim x 1 → a 1 lim x 2 → a 2 ⋯ lim x n → a n f ( x ) {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}\cdots \lim _{x_{n}\to a_{n}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )} 비슷하게 다른 종류의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 연결 열린집합 D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} f : D → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon D\to \mathbb {R} ^{m}} D {\displaystyle D} E ⊆ D {\displaystyle E\subseteq D} 극한점 a ∈ E ′ {\displaystyle \mathbf {a} \in E'} E {\displaystyle E} a {\displaystyle \mathbf {a} } f {\displaystyle \mathbf {f} } 극한 은 다음 조건을 만족시키는 점 L = lim E ∋ x → a f ( x ) ∈ R m {\displaystyle L=\lim _{E\ni \mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbb {R} ^{m}}
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} x ∈ E {\displaystyle \mathbf {x} \in E} 0 < ‖ x − a ‖ R n < δ {\displaystyle 0<\Vert \mathbf {x} -\mathbf {a} \Vert _{\mathbb {R} ^{n}}<\delta } ‖ f ( x ) − L ‖ R m < ϵ {\displaystyle \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}<\epsilon } 두 유클리드 공간 사이의 함수의 극한에 대하여, 실수와 비슷한 성질들이 성립한다. 즉, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하며, 그 점을 포함하는 어떤 열린 공 에서 유계 함수 이다. 어떤 점에서 두 함수의 극한이 존재한다면, 그 함수의 선형 결합 의 극한은 함수의 극한의 선형 결합과 같다. 또한, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다는 것은 극한과 닿지 않는 모든 수열의 극한을 보존한다는 것이다. 공역 이 1차원 유클리드 공간(즉 실수 공간)인 경우, 극한은 순서를 보존하며, 샌드위치 정리 가 성립한다.
연결 열린집합 a ∈ D ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} f : D ∖ { a } → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon D\setminus \{\mathbf {a} \}\to \mathbb {R} ^{m}} L ∈ R m {\displaystyle \mathbf {L} \in \mathbb {R} ^{m}} 동치 이다.
lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {L} } lim x → a ‖ f ( x ) − L ‖ R m = 0 {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {L} \Vert _{\mathbb {R} ^{m}}=0} lim x → a f j ( x ) = L j j = 1 , 2 , … , m {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{j}(\mathbf {x} )=L_{j}\qquad j=1,2,\ldots ,m} 이에 따라, 다변수 함수의 극한의 개념은 공역이 실수 공간인 경우로 귀결된다.
함수가 극한을 갖는 점에서 다중 극한을 가질 필요는 없으며, 반대로 다중 극한을 가지는 점에서 극한을 가질 필요는 없다. 예를 들어, 함수
f ( x , y ) = { 0 x y = 0 1 x y ≠ 0 ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}0&xy=0\\1&xy\neq 0\end{cases}}\qquad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} 는 검증
lim k → ∞ f ( 0 , 1 k ) = 0 ≠ 1 = lim k → ∞ f ( 1 k , 1 k ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }f\left(0,{\frac {1}{k}}\right)=0\neq 1=\lim _{k\to \infty }f\left({\frac {1}{k}},{\frac {1}{k}}\right)} 에 따라, ( 0 , 0 ) ∈ R 2 {\displaystyle (0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}
lim x → 0 lim y → 0 f ( x , y ) = lim y → 0 lim x → 0 f ( x , y ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1} 또한, 함수
g ( x , y ) = { ( x + y ) sin 1 x sin 1 y x y ≠ 0 0 x y = 0 ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle g(x,y)={\begin{cases}(x+y)\sin {\frac {1}{x}}\sin {\frac {1}{y}}&xy\neq 0\\0&xy=0\end{cases}}\qquad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} 는 검증
0 ≤ g ( x , y ) ≤ | x | + | y | ∀ ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle 0\leq g(x,y)\leq |x|+|y|\qquad \forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} 에 따라, ( 0 , 0 ) ∈ R 2 {\displaystyle (0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) g ( x , y ) = 0 {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)=0} 그러나, 만약 일반 극한과 다중 극한이 모두 존재한다면, 둘은 서로 같다.
거리 공간
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두 거리 공간 ( M , d M ) {\displaystyle (M,d_{M})} ( N , d N ) {\displaystyle (N,d_{N})} f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} a ∈ M {\displaystyle a\in M} f {\displaystyle f} 극한 은 다음 조건을 만족시키는 점 L = lim x → a f ( x ) ∈ N {\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x)\in N}
임의의 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < d M ( x , a ) < δ {\displaystyle 0<d_{M}(x,a)<\delta } d N ( f ( x ) , L ) < ϵ {\displaystyle d_{N}(f(x),L)<\epsilon } 같은 집합 위의 서로 다른 거리 함수에 대하여 서로 다른 함수의 극한을 정의 내릴 수 있다. 구분이 필요한 경우, 거리 함수 d M , d N {\displaystyle d_{M},d_{N}} ( d M , d N ) ¯ lim x → a f ( x ) {\displaystyle (d_{M},d_{N}){\bar {}}\lim _{x\to a}f(x)} 노름 ‖ ⋅ ‖ V , ‖ ⋅ ‖ W {\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{V},\Vert \cdot \Vert _{W}} ( ‖ ⋅ ‖ V , ‖ ⋅ ‖ W ) ¯ lim x → a f ( x ) {\displaystyle (\Vert \cdot \Vert _{V},\Vert \cdot \Vert _{W}){\bar {}}\lim _{x\to a}f(x)}
두 거리 공간 ( M , d M ) {\displaystyle (M,d_{M})} ( N , d N ) {\displaystyle (N,d_{N})} f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} L ∈ N {\displaystyle L\in N} 동치 이다.
lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} lim x − a d ( f ( x ) , L ) = 0 {\displaystyle \lim _{x-a}d(f(x),L)=0} 이에 따라, 거리 공간 위의 함수의 극한은 공역이 (표준적인 거리 함수를 갖춘) 실수 공간인 경우로 귀결된다.
연결 열린집합 a ∈ D ⊆ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} f : D ∖ { a } → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon D\setminus \{\mathbf {a} \}\to \mathbb {R} ^{m}} L ∈ R m {\displaystyle \mathbf {L} \in \mathbb {R} ^{m}} 동치 이다.
어떤 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } ( ‖ ⋅ ‖ p , R n , ‖ ⋅ ‖ p , R m ) ¯ lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle (\Vert \cdot \Vert _{p,\mathbb {R} ^{n}},\Vert \cdot \Vert _{p,\mathbb {R} ^{m}}){\bar {}}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {L} }
모든 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } ( ‖ ⋅ ‖ p , R n , ‖ ⋅ ‖ p , R m ) ¯ lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle (\Vert \cdot \Vert _{p,\mathbb {R} ^{n}},\Vert \cdot \Vert _{p,\mathbb {R} ^{m}}){\bar {}}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {L} } 즉, 유클리드 공간 위의 Lp 노름 (1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
참고 문헌
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외부 링크
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