다음이 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
유한 차원 실수 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
그렇다면, 자명한 벡터 다발
M
×
g
↠
M
{\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow M}
값 을 갖는 미분 형식
α
∈
Γ
(
M
;
g
⊗
R
⋁
∙
T
∗
M
)
{\displaystyle \alpha \in \Gamma \left(M;{\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\bigvee ^{\bullet }\mathrm {T} ^{*}M\right)}
을
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1차 미분 형식의 경우, 다음과 같이 L∞-대수 에 대하여 일반화될 수 있다.
구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
코쥘 쌍대성 에 따라 가환 미분 등급 대수
CE
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}
그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.
M
{\displaystyle M}
미분 형식 들의 공간은 가환 미분 등급 대수
Ω
(
M
)
{\displaystyle \Omega (M)}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
베유 대수
W
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}
가환 미분 등급 대수 를 이룬다.그렇다면,
M
{\displaystyle M}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
미분 등급 대수 의 준동형
α
:
W
(
g
)
→
Ω
(
M
)
{\displaystyle \alpha \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)}
이다.
만약
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
리 대수 일 경우 (즉,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
CE
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
설명:
구체적으로, 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
기저 가
(
t
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (t_{i})_{i\in I}}
베유 대수
(
W
(
g
)
,
d
)
{\displaystyle (\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}),\mathrm {d} )}
(
t
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (t^{i})_{i\in I}}
(
δ
t
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (\delta t^{i})_{i\in I}}
δ
d
CE
(
g
)
+
d
CE
(
g
)
δ
=
0
{\displaystyle \delta \mathrm {d} _{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}+\mathrm {d} _{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}\delta =0}
δ
2
=
0
{\displaystyle \delta ^{2}=0}
d
CE
t
i
(
t
j
,
t
k
)
=
−
1
2
t
i
(
[
t
j
,
t
k
]
)
{\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i}(t_{j},t_{k})=-{\frac {1}{2}}t^{i}([t_{j},t_{k}])}
그렇다면, 준동형
ϕ
:
W
(
g
)
→
Ω
(
M
)
{\displaystyle \phi \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)}
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
∑
i
∈
I
t
i
ϕ
(
t
i
)
∈
Ω
1
(
M
;
g
)
{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
∑
i
∈
I
t
i
ϕ
(
δ
t
i
)
∈
Ω
2
(
M
;
g
)
{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})\in \Omega ^{2}(M;{\mathfrak {g}})}
그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.
d
∑
i
∈
I
t
i
ϕ
(
t
i
)
=
d
∑
i
∈
I
t
i
(
ϕ
(
δ
t
i
)
+
ϕ
(
d
CE
t
i
)
)
=
∑
i
∈
I
t
i
ϕ
(
δ
t
i
)
−
1
2
∑
j
,
k
∈
I
[
t
j
,
t
k
]
ϕ
(
t
j
)
∧
ϕ
(
t
k
)
=
∑
i
∈
I
t
i
ϕ
(
δ
t
i
)
−
[
∑
i
∈
I
t
i
ϕ
(
t
i
)
∧
∑
i
∈
I
t
i
ϕ
(
t
i
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})&=\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\left(\phi (\delta t^{i})+\phi (\mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i})\right)\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k\in I}[t_{j},t_{k}]\phi (t^{j})\wedge \phi (t^{k})\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-\left[\sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\wedge \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\right]\end{aligned}}}
즉, 이는 임의의
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
∑
i
∈
I
t
i
ϕ
(
t
i
)
{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})}
리 괄호
편집
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
실수 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
m
{\displaystyle m}
α
{\displaystyle \alpha }
n
{\displaystyle n}
β
{\displaystyle \beta }
리 괄호 는 다음과 같은,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
m
+
n
{\displaystyle m+n}
[
α
∧
β
]
(
v
1
,
…
,
v
m
+
n
)
=
1
(
m
+
n
)
!
∑
σ
∈
Sym
(
m
+
n
)
(
−
)
σ
[
α
(
v
1
,
…
,
v
m
)
,
β
(
v
m
+
1
,
…
,
v
m
+
n
)
]
∀
x
∈
M
,
v
1
,
…
,
v
m
+
n
∈
T
x
M
{\displaystyle [\alpha \wedge \beta ](v_{1},\dotsc ,v_{m+n})={\frac {1}{(m+n)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (m+n)}(-)^{\sigma }[\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}),\beta (v_{m+1},\dotsc ,v_{m+n})]\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m+n}\in \mathrm {T} _{x}M}
이에 따라,
M
{\displaystyle M}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
임의의 실수 리 대수 의 준동형
ϕ
:
g
→
h
{\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
m
{\displaystyle m}
α
{\displaystyle \alpha }
ϕ
(
α
)
(
v
1
,
…
,
v
m
)
=
ϕ
(
α
(
v
1
,
…
,
v
m
)
)
∀
x
∈
M
,
v
1
,
…
,
v
m
∈
T
x
M
{\displaystyle \phi (\alpha )(v_{1},\dotsc ,v_{m})=\phi (\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}))\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m}\in \mathrm {T} _{x}M}
로 정의하면,
ϕ
(
α
)
{\displaystyle \phi (\alpha )}
M
{\displaystyle M}
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
m
{\displaystyle m}
외부 링크
편집
![{\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i}(t_{j},t_{k})=-{\frac {1}{2}}t^{i}([t_{j},t_{k}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f05919cd5f0c49bcc839755d96381194123ba85)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})&=\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\left(\phi (\delta t^{i})+\phi (\mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i})\right)\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k\in I}[t_{j},t_{k}]\phi (t^{j})\wedge \phi (t^{k})\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-\left[\sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\wedge \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24a95b5897187780637863331038791bfd38315)
={\frac {1}{(m+n)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (m+n)}(-)^{\sigma }[\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}),\beta (v_{m+1},\dotsc ,v_{m+n})]\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m+n}\in \mathrm {T} _{x}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770481e0824d3bc176348a34e75b2a9bd1cf1a43)
