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마우러-카르탕 형식

미분기하학에서, 마우러-카르탕 형식(Maurer-Cartan形式, 영어: Maurer–Cartan form)은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다.

정의편집

마우러-카르탕 형식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

편의상, 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 함수를 다음과 같이 정의하자.

 
 
 

내재적 정의편집

리 군  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터장의 밂

 

를 정의할 수 있다.

 리 대수는 항등원에서의 접공간과 같다.

 

이제, 각 점  에서, 마우러-카르탕 형식

 

은 다음과 같은 성분을 갖는 리 대수 값 1차 미분 형식이다.

 

외재적 정의편집

임의의 자연수  에 대하여, 일반 선형군   위의 매끄러운 함수

 

가 행렬의  번째 성분을 고르는 함수라고 하자. 그렇다면, 1차 미분 형식

 

들을 정의할 수 있다. 이들을 모아

 

를 정의할 수 있다.

  위의 마우러-카르탕 형식은 다음과 같다.

 

이제, 다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음을 임의로 고르자. 우선,  는 유한 차원 실수 리 대수이므로, 충분히 큰  에 대하여 항상 다음과 같은 단사 실수 리 대수 준동형이 존재한다.

 

이는 마찬가지로 매끄러운 군 준동형

 

을 정의한다. 이는 (정의에 따라) 항상 몰입이지만, 일반적으로 단사 함수일 필요가 없다.

그렇다면,  마우러-카르탕 형식

 

 의 마우러-카르탕 형식  당김

 

이다. 이는 사실  에 속하는 것을 보일 수 있다.

 

또한, 이 표현은  의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

단일 연결이 아닌 연결 리 군  의 마우러-카르탕 형식은 그 범피복군

 

에 대하여,

 

가 되는 유일한 미분 형식이다.

공리적 정의편집

리 군   위의 마우러-카르탕 형식은 다음 조건들을 모두 만족시키는 유일한  1차 미분 형식

 

이다.

  •  
  • 임의의  에 대하여,  

이 정의는 주접속의 정의과 같다. 즉,  한원소 공간   위의 주다발

 

로 간주하면, 마우러-카르탕 형식은 그 위의 유일한 주접속이다.

성질편집

임의의 벡터장  에 대하여, 만약

 

라면,  상수 함수이다.

유도:

임의의  에 대하여,

 

마우러-카르탕 방정식편집

마우러-카르탕 형식은 다음 조건을 만족시킨다.

 

이를 마우러-카르탕 방정식(Maurer-Cartan方程式, 영어: Maurer–Cartan equation)이라고 한다.

유도:

임의의 두 벡터장  이 왼쪽 곱셈 밂에 대하여 불변이라고 하자. 그렇다면,   는 둘 다 상수 함수이다. 따라서,

 

이다. 따라서,

 

이다. 그런데 왼쪽 불변인 벡터장들은  의 각 점에서의 접공간기저를 이루므로, 위 방정식은 점별로 모든 벡터장에 대하여 성립한다. 즉,

 

이다.

마우러-카르탕 방정식의 일반화편집

리 군   위의,   값의 미분 형식들은 미분 등급 리 대수  를 이룬다. 이에 따라, 마우러-카르탕 방정식은 임의의 미분 등급 리 대수  에 대하여 일반화된다. 즉,

 

위의 마우러-카르탕 방정식은 1차 원소에 대한 방정식

 

이다. 그러나 그 해는 일반적으로 유일하지 못하다. (차수 조건을 생략할 경우, 예를 들어   역시 마우러-카르탕 방정식을 자명하게 만족시킨다.)

보다 일반적으로, 임의의 L∞-대수  를 생각하자. L∞-대수에서, 미분 연산  는 1항 괄호에 해당한다. 이 경우,   위의 마우러-카르탕 방정식은 다음과 같다.

 

역사편집

루트비히 마우러(독일어: Ludwig Maurer, 1859~1927)와 엘리 카르탕[1] 의 이름을 땄다.

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아벨 군  을 생각하자. 그 위의 마우러-카르탕 형식은 단순히

 

이다.

이 경우, 마우러-카르탕 방정식은 단순히

 

이므로, 마우러-카르탕 방정식은 마우러-카르탕 원소를 완전히 결정하지 못한다.

참고 문헌편집

  1. Cartan, Élie (1904). “Sur la structure des groupes infinis de transformation”. 《Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure》 (프랑스어) 21: 153–206. JFM 35.0176.04. 

외부 링크편집