멱집합

집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다.

정의

집합 $X$ 의 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 또는 $2^{X}$ 는 $X$ 의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. 즉, 이는 다음과 같다.

{\begin{aligned}{\mathcal {P}}(X)&=\{S|S\subseteq X\}\\&=\{S|\forall s\in S\colon s\in X\}\end{aligned}}

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 멱집합 공리(영어: axiom of power set)는 다음과 같은 명제이다.

임의의 집합 $X$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합 ${\mathcal {Y}}$ 가 존재한다.
- 임의의 집합 $S$ 에 대하여, 만약 (임의의 $s\in S$ 에 대하여 $s\in X$ )라면, $S\in {\mathcal {Y}}$ 이다.

이는 ZFC의 공리이며, 특히 참이다. 멱집합 공리 및 다른 ZFC 공리들로부터, 임의의 집합 $X$ 의 멱집합의 존재를 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 집합 ${\mathcal {Y}}$ 를 잡자. 그렇다면, 분류 공리꼴에 따라, 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다.

{\mathcal {Y}}'=\{S\in {\mathcal {Y}}|\forall s\in S\colon s\in X\}

또한, ${\mathcal {Y}}$ 의 선택에 따라, ${\mathcal {Y}}'$ 는 $X$ 의 멱집합을 이룬다. 확장 공리에 따라, 임의의 집합의 멱집합은 유일하다.

성질

크기

집합 $X$ 의 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 의 크기는

|{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}

이다. 여기서 $|X|$ 는 $X$ 의 크기를 나타내며, $2^{|X|}$ 는 기수의 거듭제곱을 나타낸다. 만약 $X$ 가 유한 집합일 경우, $|X|$ 는 ( $X$ 의 원소 개수를 나타내는) 자연수이며, 기수의 거듭제곱 연산은 자연수의 거듭제곱 연산과 일치한다. 특히, 유한 집합의 멱집합은 유한 집합이다.

다음과 같은 부등식이 성립한다.

|{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}\geq |X|^{+}>|X|

여기서 $|X|^{+}$ 는 $|X|$ 보다 큰 최소의 기수이다 (선택 공리를 가정하면 이는 항상 존재한다). 이를 칸토어 정리라고 한다. 이에 따라, 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 의 크기는 항상 원래 집합 $X$ 의 크기보다 크다. 특히, $X$ 가 가산 무한 집합인 경우 $2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{1}$ 이다. 명제 $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ 는 연속체 가설이라고 부른다. 연속체 가설과 그 부정 모두 ZFC에서 증명할 수 없다.

순서론적 성질

집합 $X$ 의 멱집합은 부분 집합 관계에 대하여 완비 불 대수 $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ 를 이룬다. 최소 원소는 공집합 $\varnothing \in {\mathcal {P}}(X)$ , 최대 원소는 원래의 집합 $X\in {\mathcal {P}}(X)$ , 이음은 합집합 $\cup$ , 만남은 교집합 $\cap$ 이다. 또한, 임의의 부분 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 의 상한은 합집합