미분 기하학 에서 브와디스와프 실레보진스키 가 소푸스 리 의 이름을 따서 명명한 리 미분 ( LEE )은 [1] [2] 다른 벡터장에 의해 정의된 흐름에 대해 텐서장(스칼라 함수, 벡터장 , 제 1미분형식 포함)의 변화율을 계산한다. 이 변화는 좌표 불변이므로 리 미분은 미분 다양체에서 정의된다.
함수, 텐서장, 형식은 벡터장와 관련하여 구별될 수 있다.
T
{\displaystyle T}
가 텐서장이고
X
{\displaystyle X}
가 벡터장인 경우
X
{\displaystyle X}
에 대한
T
{\displaystyle T}
의 리 미분은
L
X
T
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T}
과 같이 표시된다. 미분 연산자
T
↦
L
X
T
{\displaystyle T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T}
기본 다양체의 텐서장 대수의 유도 이다.
리 미분은 수축과 미분 형식 에 대한 외미분과 교환한다.
미분 기하학에서 도함수를 취하는 많은 개념이 있지만 미분되는 표현이 함수 또는 스칼라장 일 때 모두 같다. 따라서 이 경우 "리"이라는 단어는 삭제되고 단순히 함수의 도함수에 대해 말한다.
다른 벡터장
X
{\displaystyle X}
에 대한 벡터장
Y
{\displaystyle Y}
의 리 미분은
X
{\displaystyle X}
와
Y
{\displaystyle Y}
의 "리괄호"로 알려져 있으며 종종
L
X
Y
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}
대신
[
X
,
Y
]
{\displaystyle [X,Y]}
로 표시된다. 벡터장의 공간은 이 리 괄호 와 관련하여 리 대수 를 형성한다. 리 미분은 항등식으로 인해 이 리 대수의 무한 차원 리 대수 표현 을 구성한다.
L
[
X
,
Y
]
T
=
L
X
L
Y
T
−
L
Y
L
X
T
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,}
모든 벡터장
X
{\displaystyle X}
및
Y
{\displaystyle Y}
와 모든 텐서장
T
{\displaystyle T}
에 유효하다.
벡터장를 M 에서 흐름의 무한소 생성원 들 (즉, 1차원 미분동형사상 군 )으로 고려할 때, 리 미분은 군 표현 과 관련된 무한소 표현 으로서의 리 대수 표현과 유사하게 텐서장에서 미분동형사상 군 표현의 미분이다. 리 군론 .
스피너 장, 접속이 있는 올다발 및 벡터 값 미분 형식 에 대한 일반화가 존재한다.
리 미분은 몇 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다. 쉬운 설명을 위해, 일반 텐서를 정의하기 전에 먼저 스칼라 함수 및 벡터장에 작용하는 리 미분를 정의한다.
다양체에서 함수
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}
의 도함수 개념은
x
+
h
{\displaystyle x+h}
가 정의되지 않아서 차이의 몫
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
)
/
h
{\displaystyle \textstyle (f(x+h)-f(x))/h}
이 정의 될 수 없기 때문에 문제가 된다.
점
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
에서 벡터장
X
{\displaystyle X}
에 대해 함수
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}
의 리 미분은 다음 함수이다:
(
L
X
f
)
(
p
)
=
d
d
t
|
t
=
0
(
f
∘
Φ
X
t
)
(
p
)
=
lim
t
→
0
f
(
Φ
X
t
(
p
)
)
−
f
(
p
)
t
{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}f)(p)={d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}f\circ \Phi _{X}^{t}{\bigr )}(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}-f{\bigl (}p{\bigr )}}{t}}}
여기서
Φ
X
t
(
p
)
{\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}
는 벡터장
X
{\displaystyle X}
에 의해 정의된 흐름이
t
{\displaystyle t}
에서 점
p
{\displaystyle p}
를 사상하는 점이다.
t
=
0
{\displaystyle t=0}
근방에서,
Φ
X
t
(
p
)
{\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}
는
t
{\displaystyle t}
에 독립인 1차 연립 미분 방정식
d
d
t
|
t
Φ
X
t
(
p
)
=
X
(
Φ
X
t
(
p
)
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\biggr |}_{t}\Phi _{X}^{t}(p)=X{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}}
의 유일한 해이다. 여기서,
Φ
X
0
(
p
)
=
p
.
{\displaystyle \Phi _{X}^{0}(p)=p.}
L
X
f
=
∇
X
f
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}
로 놓으면 방향 도함수로 함수의 리 미분을 식별한다.
X
{\displaystyle X}
와
Y
{\displaystyle Y}
가 모두 벡터장인 경우
X
{\displaystyle X}
에 대한
Y
{\displaystyle Y}
의 리 미분은
X
{\displaystyle X}
와
Y
{\displaystyle Y}
의 리 괄호
[
X
,
Y
]
{\displaystyle [X,Y]}
으로도 알려져 있으며 때때로 다음과 같이 표시된다. 리 괄호를 정의하는 방법에는 여러 가지가 있으며 모두 동일하다. 위에서 주어진 벡터장의 두 가지 정의에 해당하는 두 가지 정의를 여기에 나열한다.
p
{\displaystyle p}
에 있는
X
{\displaystyle X}
와
Y
{\displaystyle Y}
의 리 괄호는 공식에 의해 국소 좌표로 주어진다
L
X
Y
(
p
)
=
[
X
,
Y
]
(
p
)
=
∂
X
Y
(
p
)
−
∂
Y
X
(
p
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),}
여기서
∂
X
{\displaystyle \partial _{X}}
와
∂
Y
{\displaystyle \partial _{Y}}
는 각각
X
{\displaystyle X}
와
Y
{\displaystyle Y}
에 대해 [방향도함수]s를 취하는 연산을 나타낸다. 여기서 우리는 n차원 공간에 있는 벡터를 "n"-[튜플]"로 취급함으로써, 그 방향도함수는 단순히 좌표의 방향 도함수로 이루어진 튜플이다. 이 정의에 나타난 최종 표현식
∂
X
Y
(
p
)
−
∂
Y
X
(
p
)
{\displaystyle \partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)}
는 국소 좌표의 선택에 의존하지 않지만, 개별 항
∂
X
Y
(
p
)
{\displaystyle \partial _{X}Y(p)}
와
∂
Y
X
(
p
)
{\displaystyle \partial _{Y}X(p)}
는 좌표의 선택에 의존한다.만약
X
{\displaystyle X}
와
Y
{\displaystyle Y}
가 두 번째 정의에 따라 다양체
M
{\displaystyle M}
의 벡터장이라면, 연산자
L
X
Y
=
[
X
,
Y
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}
은 다음 공식으로 정의된다
[
X
,
Y
]
:
C
∞
(
M
)
→
C
∞
(
M
)
{\displaystyle [X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)}
[
X
,
Y
]
(
f
)
=
X
(
Y
(
f
)
)
−
Y
(
X
(
f
)
{\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)}
이 연산자는 두 번째 정의에 따른 벡터장이며,
M
{\displaystyle M}
의 매끄러운 함수들의 차수 0의 도함수이다.
리 미분은 흐름으로 인해 공간이 바뀌면서 텐서장이 바뀌는 비율이다.
공식적으로, 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
에 미분 가능한(시간 독립적인) 벡터장
X
{\displaystyle X}
이 주어져 있고
Φ
X
t
:
M
→
M
{\displaystyle \Phi _{X}^{t}:M\to M}
가 해당 국소 흐름이라 하자.
Φ
X
t
{\displaystyle \Phi _{X}^{t}}
가 각
t
{\displaystyle t}
에 대한 국소 미분동형사상이므로, 이는 텐서장의 당김 을 발생시킨다. 공변 텐서의 경우 당김 사상 의 다중 선형 확장일 뿐이다.
(
Φ
X
t
)
p
∗
:
T
Φ
X
t
(
p
)
∗
M
→
T
p
∗
M
,
(
Φ
X
t
)
p
∗
α
(
X
)
=
α
(
T
p
Φ
X
t
(
X
)
)
,
α
∈
T
Φ
X
t
(
p
)
∗
M
,
X
∈
T
p
M
{\displaystyle \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M,\qquad \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}\alpha (X)=\alpha {\bigl (}T_{p}\Phi _{X}^{t}(X){\bigr )},\quad \alpha \in T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M,X\in T_{p}M}
반공변 텐서의 경우 미분
T
p
Φ
X
t
{\displaystyle T_{p}\Phi _{X}^{t}}
의 역함수를 확장한다.
(
T
p
Φ
X
t
)
−
1
:
T
Φ
X
t
(
p
)
M
→
T
p
M
{\displaystyle \left(T_{p}\Phi _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M}
모든
t
{\displaystyle t}
에 대해, 결과적으로
T
{\displaystyle T}
들과 같은 종류인 텐서장
(
Φ
X
t
)
∗
T
{\displaystyle (\Phi _{X}^{t})^{*}T}
가 있다.
만약에
Y
{\displaystyle Y}
가
(
r
,
0
)
{\displaystyle (r,0)}
또는
(
0
,
s
)
{\displaystyle (0,s)}
-형 텐서장이면, 벡터장
X
{\displaystyle X}
를 따른
Y
{\displaystyle Y}
의 리 미분
L
X
Y
{\displaystyle {\cal {L}}_{X}Y}
은 점
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
에서 다음과 같이 되도록 정의된다:
L
X
T
(
p
)
=
d
d
t
|
t
=
0
(
(
Φ
X
t
)
∗
T
)
p
=
d
d
t
|
t
=
0
(
Φ
X
t
)
p
∗
T
Φ
X
t
(
p
)
=
lim
t
→
0
(
Φ
X
t
)
∗
T
Φ
X
t
(
p
)
−
T
p
t
.
{\displaystyle {\cal {L}}_{X}T(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}\left({\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T\right)_{p}={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}_{p}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}=\lim _{t\to 0}{\frac {{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}-T_{p}}{t}}.}
결과 텐서장
L
X
T
{\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}
은
T
{\displaystyle T}
들와 같은 유형이다.
더 일반적으로,
d
d
t
|
t
=
0
Φ
t
=
X
∘
Φ
0
{\displaystyle {d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}=X\circ \Phi _{0}}
라는 의미에서 벡터장
X
{\displaystyle X}
를 적분하는 미분동형사상들의 모든 매끄러운 1-매개변수 족
Φ
t
{\displaystyle \Phi _{t}}
에 대해
L
X
T
=
(
Φ
0
−
1
)
∗
d
d
t
|
t
=
0
Φ
t
∗
T
=
−
d
d
t
|
t
=
0
(
Φ
t
−
1
)
∗
Φ
0
∗
T
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T={\bigl (}\Phi _{0}^{-1}{\bigr )}^{*}{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}^{*}T=-{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{t}^{-1}{\bigr )}^{*}\Phi _{0}^{*}T\,.}
이제 대수적 정의를 제공한다. 텐서장의 리 미분에 대한 대수적 정의는 다음 네 가지 공리에서 따른다.
공리 1. 함수의 리 미분은 함수의 방향 도함수와 같다. 이 사실은 종종 공식으로 표현된다.
L
Y
f
=
Y
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)}
공리 2. 리 미분은 라이프니츠 규칙의 다음 버전을 따른다. 모든 텐서장
S
{\displaystyle S}
와
T
{\displaystyle T}
에 대해,
L
Y
(
S
⊗
T
)
=
(
L
Y
S
)
⊗
T
+
S
⊗
(
L
Y
T
)
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).}
공리 3. 리 미분은 축약과 관련하여 라이프니츠 규칙을 따른다.
L
X
(
T
(
Y
1
,
…
,
Y
n
)
)
=
(
L
X
T
)
(
Y
1
,
…
,
Y
n
)
+
T
(
(
L
X
Y
1
)
,
…
,
Y
n
)
+
⋯
+
T
(
Y
1
,
…
,
(
L
X
Y
n
)
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))}
공리 4. 리 미분은 함수에 대한 외미분과 교환한다.
[
L
X
,
d
]
=
0
{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},d]=0}
이러한 공리가 유지되면
d
f
(
Y
)
=
Y
(
f
)
{\displaystyle df(Y)=Y(f)}
에 리 미분
L
X
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}
을 적용하는 것은 다음을 보여준다
L
X
Y
(
f
)
=
X
(
Y
(
f
)
)
−
Y
(
X
(
f
)
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),}
리 괄호의 표준적 정의 중 하나이다.
미분 형식으로 작용하는 리 미분은 외미분과 함께 내부곱 의 반교환자이다. 따라서
α
{\displaystyle \alpha }
가 미분 형식이면
L
Y
α
=
i
Y
d
α
+
d
i
Y
α
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .}
이는 표현식이 외부 도함수와 교환하고, 미분(등급 미분의 반교환자임)이며 함수에서 올바른 작업을 수행하는지 확인하여 쉽게 따른다.
명시적으로
T
{\displaystyle T}
를
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
-유형 텐서장라고 한다.
T
{\displaystyle T}
를 여접 다발
T
∗
M
{\displaystyle T^{*}M}
의 매끄러운 단면
α
1
,
α
2
,
…
,
α
p
{\displaystyle \alpha ^{1},\alpha ^{2},\dots ,\alpha ^{p}}
과 단면
X
1
,
X
2
,
…
,
X
q
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{q}}
의 미분 가능한 다중 선형 사상으로 본다. 접다발
T
M
{\displaystyle TM}
의
T
(
α
1
,
α
2
,
…
,
X
1
,
X
2
,
…
)
{\displaystyle T(\alpha ^{1},\alpha ^{2},\dots ,X_{1},X_{2},\dots )}
R 로. 공식에 의해 Y를 따라
T
{\displaystyle T}
의 리 미분를 정의한다.
(
L
Y
T
)
(
α
1
,
α
2
,
…
,
X
1
,
X
2
,
…
)
=
Y
(
T
(
α
1
,
α
2
,
…
,
X
1
,
X
2
,
…
)
)
{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))}
−
T
(
L
Y
α
1
,
α
2
,
…
,
X
1
,
X
2
,
…
)
−
T
(
α
1
,
L
Y
α
2
,
…
,
X
1
,
X
2
,
…
)
−
…
{\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots }
−
T
(
α
1
,
α
2
,
…
,
L
Y
X
1
,
X
2
,
…
)
−
T
(
α
1
,
α
2
,
…
,
X
1
,
L
Y
X
2
,
…
)
−
…
{\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots }
밂의 성질과 미분을 위한 라이프니츠 규칙을 사용하여 해석 및 대수적 정의가 동등한 것으로 입증될 수 있다. 리 미분은 축약과 교환한다.
특히 중요한 텐서장의 종류는 미분 형식 종류이다. 미분 형식의 공간에 대한 리 미분을 제한하면 외미분과 밀접한 관련이 생긴다. 리 미분과 외미분 모두 다른 방식으로 미분 개념을 포착하려고 시도한다. 이러한 차이는 내부곱 을 도입함으로써 연결될 수 있으며, 그 후에 관계는 카르탕 공식 으로 알려진 항등식으로 귀결된다. 카르탕 공식은 또한 미분 형식의 공간에서 리 미분의 정의로 사용될 수 있다.
M을 다양체라고 하고 X를 M 의 벡터장이라고 하자.
ω
∈
Λ
k
+
1
(
M
)
{\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k+1}(M)}
가 (k + 1) -형식 이라 하자. 즉, 각
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
에 대해,
ω
(
p
)
{\displaystyle \omega (p)}
는
(
T
p
M
)
k
+
1
{\displaystyle (T_{p}M)^{k+1}}
에서 실수로 가는 교대 다중 선형 사상 이다. X 와 ω 의 내부곱 은 다음과 같이 정의된 k -형식
i
X
ω
{\displaystyle i_{X}\omega }
이다:
(
i
X
ω
)
(
X
1
,
…
,
X
k
)
=
ω
(
X
,
X
1
,
…
,
X
k
)
{\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,}
미분 형식
i
X
ω
{\displaystyle i_{X}\omega }
는 X에 대한 ω 의 수축 이라고도 하며,
i
X
:
Λ
k
+
1
(
M
)
→
Λ
k
(
M
)
{\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)}
은
∧
{\displaystyle \wedge }
-역미분 이다. 여기서
∧
{\displaystyle \wedge }
는 미분 형식의 쐐기 곱 이다. 즉,
i
X
{\displaystyle i_{X}}
는 R- 선형사상이고
ω
∈
Λ
k
(
M
)
{\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}
과 또 다른 미분 형식 η에 대해,
i
X
(
ω
∧
η
)
=
(
i
X
ω
)
∧
η
+
(
−
1
)
k
ω
∧
(
i
X
η
)
{\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}
이다. 또한 함수
f
∈
Λ
0
(
M
)
{\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}
의 경우 즉, M 에 대한 실수 또는 복소수 값 함수에 대해서는 다음과 같다.
i
f
X
ω
=
f
i
X
ω
{\displaystyle i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega }
여기서
f
X
{\displaystyle fX}
는 f 와 X 의 곱을 나타낸다. 외미분 과 리 미분의 관계는 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 벡터장 X 에 대한 함수 f 의 리 미분은 방향 도함수 X (f )와 같기 때문에 f 의 외미분을 X 로 축약한 것과도 같다.
L
X
f
=
i
X
d
f
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df}
일반적인 미분 형식의 경우, 리 미분은 마찬가지로 X 의 변동을 고려한 축약이다.
L
X
ω
=
i
X
d
ω
+
d
(
i
X
ω
)
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).}
이 항등식은 카르탕 공식 , 카르탕 호모토피 공식 또는 카르탕의 마법 공식 으로 다양하게 알려져 있다. 자세한 내용은 내부곱 을 참조. 카르탕 공식은 미분 형식의 리 미분의 정의로 사용할 수 있다. 카르탕의 공식은 특히 다음을 보여준다.
d
L
X
ω
=
L
X
(
d
ω
)
.
{\displaystyle d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).}
리 미분은 다음 관계도 만족한다.
L
f
X
ω
=
f
L
X
ω
+
d
f
∧
i
X
ω
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .}
틀:Einstein summation convention 아래에서는 중복 첨자에 대해 아인슈타인 규약이 사용된다. 국소 좌표 표기법에서 (r , s ) -텐서장
T
{\displaystyle T}
의 경,
X
{\displaystyle X}
에 따른 리 미분은
(
L
X
T
)
a
1
…
a
r
b
1
…
b
s
=
X
c
(
∂
c
T
a
1
…
a
r
b
1
…
b
s
)
−
(
∂
c
X
a
1
)
T
c
a
2
…
a
r
b
1
…
b
s
−
…
−
(
∂
c
X
a
r
)
T
a
1
…
a
r
−
1
c
b
1
…
b
s
+
(
∂
b
1
X
c
)
T
a
1
…
a
r
c
b
2
…
b
s
+
…
+
(
∂
b
s
X
c
)
T
a
1
…
a
r
b
1
…
b
s
−
1
c
{\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}
여기서 표기법
∂
a
=
∂
∂
x
a
{\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}
은 좌표
x
a
{\displaystyle x^{a}}
에 대해 편도 함수를 취하는 것을 의미한다. .또는 비틀림 없는 접속(예: 레비치비타 접속 )을 사용하는 경우, 편미분
∂
a
{\displaystyle \partial _{a}}
는
∂
a
X
b
{\displaystyle \partial _{a}X^{b}}
를(표기법 남용)
∇
a
X
b
=
X
;
a
b
:=
(
∇
X
)
a
b
=
∂
a
X
b
+
Γ
a
c
b
X
c
{\displaystyle \nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}}
로 대체함을 의미하는 공변 미분으로 대체될 수 있다. 여기서
Γ
b
c
a
=
Γ
c
b
a
{\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}
는 크리스토펠 계수 이다.
텐서의 리 미분은 동일한 유형의 또 다른 텐서이다. 즉, 표현의 개별 항이 좌표계의 선택에 따라 달라지더라도 전체 표현은 텐서가 된다.
(
L
X
g
)
=
(
X
c
g
a
b
;
c
+
g
c
b
X
;
a
c
+
g
a
c
X
;
b
c
)
d
x
a
⊗
d
x
b
=
(
X
b
;
a
+
X
a
;
b
)
d
x
a
⊗
d
x
b
{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}}
이는 좌표계와 독립적이며
T
{\displaystyle T}
과 같은 유형인 텐서이다.
정의는 텐서 밀도로 더 확장될 수 있다.
T
{\displaystyle T}
가 실수 가중치
w
{\displaystyle w}
의 텐서 밀도(예: 가중치 1의 부피 밀도)이면 리 미분은 동일한 유형 및 가중치의 텐서 밀도이다.
(
L
X
T
)
a
1
…
a
r
b
1
…
b
s
∂
a
1
⊗
⋯
⊗
∂
a
r
⊗
d
x
b
1
⊗
⋯
⊗
d
x
b
s
{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}}
표현식 끝에 있는 새로운 항에 주목하라.
선형 접속
Γ
=
(
Γ
b
c
a
)
{\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})}
의 경우,
X
{\displaystyle X}
를 따른 리 미분은 [3]
(
L
X
T
)
a
1
…
a
r
b
1
…
b
s
=
X
c
(
∂
c
T
a
1
…
a
r
b
1
…
b
s
)
−
(
∂
c
X
a
1
)
T
c
a
2
…
a
r
b
1
…
b
s
−
…
−
(
∂
c
X
a
r
)
T
a
1
…
a
r
−
1
c
b
1
…
b
s
+
+
(
∂
b
1
X
c
)
T
a
1
…
a
r
c
b
2
…
b
s
+
…
+
(
∂
b
s
X
c
)
T
a
1
…
a
r
b
1
…
b
s
−
1
c
+
w
(
∂
c
X
c
)
T
a
1
…
a
r
b
1
…
b
s
{\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}}
명확성을 위해 이제 국소 좌표 표기법으로 다음 예를 보여준다.
스칼라 장
ϕ
(
x
c
)
∈
F
(
M
)
{\displaystyle \phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)}
의 경우:
(
L
X
ϕ
)
=
X
(
ϕ
)
=
X
a
∂
a
ϕ
{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi }
.
따라서 스칼라 장
ϕ
(
x
,
y
)
=
x
2
−
sin
(
y
)
{\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)}
의 경우와 벡터장
X
=
sin
(
x
)
∂
y
−
y
2
∂
x
{\displaystyle X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}
에 상응하는 리 미분은
L
X
ϕ
=
(
sin
(
x
)
∂
y
−
y
2
∂
x
)
(
x
2
−
sin
(
y
)
)
=
sin
(
x
)
∂
y
(
x
2
−
sin
(
y
)
)
−
y
2
∂
x
(
x
2
−
sin
(
y
)
)
=
−
sin
(
x
)
cos
(
y
)
−
2
x
y
2
{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}}
고차 미분 형식의 예는 이전 예제에서 제 2미분형식
ω
=
(
x
2
+
y
2
)
d
x
∧
d
z
{\displaystyle \omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz}
과 벡터장
X
{\displaystyle X}
을 고려하라. 그러면
L
X
ω
=
d
(
i
sin
(
x
)
∂
y
−
y
2
∂
x
(
(
x
2
+
y
2
)
d
x
∧
d
z
)
)
+
i
sin
(
x
)
∂
y
−
y
2
∂
x
(
d
(
(
x
2
+
y
2
)
d
x
∧
d
z
)
)
=
d
(
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
d
z
)
+
i
sin
(
x
)
∂
y
−
y
2
∂
x
(
2
y
d
y
∧
d
x
∧
d
z
)
=
(
−
2
x
y
2
d
x
+
(
−
2
y
x
2
−
4
y
3
)
d
y
)
∧
d
z
+
(
2
y
sin
(
x
)
d
x
∧
d
z
+
2
y
3
d
y
∧
d
z
)
=
(
−
2
x
y
2
+
2
y
sin
(
x
)
)
d
x
∧
d
z
+
(
−
2
y
x
2
−
2
y
3
)
d
y
∧
d
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}}
좀 더 추상적인 예로,
(
L
X
Γ
)
b
c
a
=
X
d
∂
d
Γ
b
c
a
+
∂
b
∂
c
X
a
−
Γ
b
c
d
∂
d
X
a
+
Γ
d
c
a
∂
b
X
d
+
Γ
b
d
a
∂
c
X
d
{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}}
따라서 여벡터장, 즉, 미분 형식
A
=
A
a
(
x
b
)
d
x
a
{\displaystyle A=A_{a}(x^{b})dx^{a}}
에 대해:
L
X
(
d
x
b
)
=
d
i
X
(
d
x
b
)
=
d
X
b
=
∂
a
X
b
d
x
a
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}}
.
마지막 식의 계수는 리 미분의 국소 좌표 식이다.
공변 2차 텐서장
T
=
T
a
b
(
x
c
)
d
x
a
⊗
d
x
b
{\displaystyle T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}}
의 경우:
(
L
X
T
)
=
(
L
X
T
)
a
b
d
x
a
⊗
d
x
b
=
X
(
T
a
b
)
d
x
a
⊗
d
x
b
+
T
c
b
L
X
(
d
x
c
)
⊗
d
x
b
+
T
a
c
d
x
a
⊗
L
X
(
d
x
c
)
=
(
X
c
∂
c
T
a
b
+
T
c
b
∂
a
X
c
+
T
a
c
∂
b
X
c
)
d
x
a
⊗
d
x
b
{\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}}
만약에
T
=
g
{\displaystyle T=g}
가 대칭 계량 텐서이면, 레비-치비타 접속 (일명 공변 도함수)에 대해 평행하며, 그 접속을 사용하는 것이 유익하다. 이는 모든 도함수를 공변 도함수로 대체하는 효과가 있다.
L
X
A
=
X
(
A
a
)
d
x
a
+
A
b
L
X
(
d
x
b
)
=
(
X
b
∂
b
A
a
+
A
b
∂
a
(
X
b
)
)
d
x
a
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}}
리 미분에는 여러 가지 성질이 있다.
F
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}
를 다양체
M
{\displaystyle M}
에 정의된 함수들의 대수라 하자. 그러면,
L
X
:
F
(
M
)
→
F
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)}
는 대수
F
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}
의 미분 이다. 즉,
L
X
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}
는
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
-선형이고
L
X
(
f
g
)
=
(
L
X
f
)
g
+
f
L
X
g
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.}
마찬가지로
F
(
M
)
×
X
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}
에 대한 미분이다. 여기서
X
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}
는
M
{\displaystyle M}
의 모든 벡터장들의 집합이다(cf. 문서의 정리 6: Nichita, FF 통합 이론: 새로운 결과 및 예. 공리 2019, 8, 60):
L
X
(
f
Y
)
=
(
L
X
f
)
Y
+
f
L
X
Y
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}
이는 다음의 동치인 표기법으로도 쓸 수 있다.
L
X
(
f
⊗
Y
)
=
(
L
X
f
)
⊗
Y
+
f
⊗
L
X
Y
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}
여기서 텐서곱 기호
⊗
{\displaystyle \otimes }
는 함수 곱하기 벡터장의 곱이 전체 다양체에 적용된다는 사실을 강조하기 위해 사용된다.
추가 성질은 리 괄호의 성질과 일치한다. 따라서, 예를 들어 벡터장에 대한 유도로 보면,
L
X
[
Y
,
Z
]
=
[
L
X
Y
,
Z
]
+
[
Y
,
L
X
Z
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}
위의 식이 야코비 항등식 일 뿐이라는 것을 알 수 있다. 따라서 리 괄호가 장착된
M
{\displaystyle M}
위의 벡터장의 공간이 리 대수 를 형성한다는 중요한 결과가 있다.
리 미분은 또한 미분 형식에 작용할 때 중요한 성질을 갖다. α 와 β를
M
{\displaystyle M}
에 대한 두 개의 미분 형식이라고 하고 X 와 Y를 두 개의 벡터장이라고 한다. 그 다음에
L
X
(
α
∧
β
)
=
(
L
X
α
)
∧
β
+
α
∧
(
L
X
β
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}
[
L
X
,
L
Y
]
α
:=
L
X
L
Y
α
−
L
Y
L
X
α
=
L
[
X
,
Y
]
α
{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }
[
L
X
,
i
Y
]
α
=
[
i
X
,
L
Y
]
α
=
i
[
X
,
Y
]
α
,
{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,}
여기서 i는 위에서 정의한 내부 곱을 나타내고 [·,·]가 교환자 를 나타내는지 또는 벡터장의 리 괄호를 나타내는지는 분명하다.
리 미분의 다양한 일반화는 미분 기하학에서 중요한 역할을 한다.
일반적인 (준) 리만 다양체에서 반드시 킬링 일 필요 없는 일반 시공간 벡터장을 따른 스피너 의 리 미분 에 대한 정의는 이미 1971년 Yvette 코스만에 의해 제안되었다.[4] 나중에 (게이지 [5] 공변)장 이론에 가장 적합한 것으로 판명된 게이지 자연 다발의 명시적 맥락에서 올다발 에 대한 리 미분의 일반적 방식 내에서 임시 처방을 정당화하는 기하학적 방식이 제공되었다.[6]
주어진 스핀 다양체 에서, 즉 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
에 있다. 스핀 구조 를 가진, 스피너 장
ψ
{\displaystyle \psi }
의 리 미분은 1963년에 주어진 앙드레 리크네로비츠 의 국소 표현을 통해 무한소 등장 사상 (킬링 벡터장 )과 관련하여 먼저 정의하여 정의할 수 있다.[7]
L
X
ψ
:=
X
a
∇
a
ψ
−
1
4
∇
a
X
b
γ
a
γ
b
ψ
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,}
여기서
X
=
X
a
∂
a
{\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}
가 킬링 벡터장 으로 가정하였으므로,
∇
a
X
b
=
∇
[
a
X
b
]
{\displaystyle \nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}}
이며,
γ
a
{\displaystyle \gamma ^{a}}
들은 디랙 행렬 이다.
그런 다음 일반 벡터장에 대한 리크네로비츠의 국소 표현을 유지하여 리크네로비츠의 정의를 모든 벡터장
X
{\displaystyle X}
(일반 무한소 변환)로 확장할 수 있다. 그러나 명시적으로 오직
∇
a
X
b
{\displaystyle \nabla _{a}X_{b}}
의 반대칭 부분을 취하면서.[4] 보다 명확하게 1972년에 주어진 코스만의 국소 표현은 다음과 같다.[4]
L
X
ψ
:=
X
a
∇
a
ψ
−
1
8
∇
[
a
X
b
]
[
γ
a
,
γ
b
]
ψ
=
∇
X
ψ
−
1
4
(
d
X
♭
)
⋅
ψ
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,}
여기서,
[
γ
a
,
γ
b
]
=
γ
a
γ
b
−
γ
b
γ
a
{\displaystyle [\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}}
는 교환자이며,
d
{\displaystyle d}
는 외미분이다.
X
♭
=
g
(
X
,
−
)
{\displaystyle X^{\flat }=g(X,-)}
는 계량(즉, 첨자가 낮아짐)이 주어진
X
{\displaystyle X}
에 해당하는 쌍대 제 1미분형식이다.
⋅
{\displaystyle \cdot }
는 클리포드 곱셈이다.
스피너 리 미분이 계량과 무관하므로 접속과도 무관하다는 점은 주목할 가치가 있다. 이것은 코스만의 국소 표현의 오른쪽에서 명확하지 않다. 오른쪽은 스핀 접속(공변 도함수), 벡터장의 쌍대화(지수 감소) 및 클리포드 스피너 다발에 대한 곱셈. 그렇지 않다. 코스만의 국소 표현 오른쪽에 있는 양이 결합되어 모든 계량 및 접속 종속 항을 취소한다.
스피너 장의 리 미분에 대한 오랜 논쟁의 개념을 더 잘 이해하기 위해 원래 문서를 참조할 수 있다.[8] [9] 여기에서 스피너 장의 리 미분의 정의는 올다발 단면의 리 미분 이론과 Y. 코스만의 스피너 경우에 대한 직접적인 접근은 코스만 올림 이라는 새로운 기하학적 개념의 형식으로 자연 다발을 측정하기 위해 일반화되었다.
G
{\displaystyle G}
를 구조 군으로 하는 다양체
M
{\displaystyle M}
위에 주다발이 있고 주다발의 접공간의 단면으로 공변 벡터장으로
X
{\displaystyle X}
를 선택하는 경우(즉, 수평 및 수직 구성 요소가 있음) 공변은 다음과 같다. 리 미분은 주다발에 대한
X
{\displaystyle X}
에 대한 리 미분이다.
이제
M
{\displaystyle M}
에 대한 벡터장
Y
{\displaystyle Y}
(주다발은 아님)가 주어졌지만 주다발에 대한 접속도 있는 경우 수평 구성 요소가
Y
{\displaystyle Y}
와 일치하도록 주다발에 대한 벡터장
X
{\displaystyle X}
를 정의할 수 있다. 수직 구성 요소가 접속과 일치한다. 이것은 공변 리 미분이다.
자세한 내용은 접속 형식을 참조.
알베르트 니젠후이스로 인한 또 다른 일반화는 접다발의 값을 갖는 미분 형식의 다발
Ω
k
(
M
,
T
M
)
{\displaystyle \Omega ^{k}(M,TM)}
의 임의 단면을 따라 미분 형식의 리 미분를 정의할 수 있게 한다. 만약
k
∈
Ω
k
(
M
,
T
M
)
{\displaystyle k\in \Omega ^{k}(M,TM)}
이고
α
{\displaystyle \alpha }
는 제
p
{\displaystyle p}
미분 형식이면 K 와
α
{\displaystyle \alpha }
의 내부곱
i
k
α
{\displaystyle i_{k}\alpha }
를 정의하는 것이 가능하다. 니젠후이스–리 미분은 내부곱 과 외미분 의 반교환자이다.
L
K
α
=
[
d
,
i
K
]
α
=
d
i
K
α
−
(
−
1
)
k
−
1
i
K
d
α
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .}
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