예고로프 정리
측도론에서 예고로프 정리(Егоров定理, 영어: Egorov’s theorem)는 가측 함수에 대하여, 점별 수렴과 균등 수렴이 거의 일치한다는 정리이다.
정의 편집
측도 공간 에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 으로 가는 일련의 가측 함수의 열
에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.
예고로프 정리에 따르면, 임의의 양의 실수 에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 가측 집합 가 존재한다.[1]:73[2]:72, Theorem 7.1.12
- 은 위에서 균등 수렴한다.
증명:
임의의 가측 함수 에 대하여,
는 가측 함수이며,
역시 연속 함수이므로 가측 함수이다. 가정에 따라 가 분해 가능 거리 공간이므로, 제2 가산 공간이며, (거리 위상의 곱위상에 대한) 보렐 시그마 대수 는 곱 시그마 대수 와 일치한다. 따라서
는 가측 함수이다.
이제, 의 거의 어디서나 점별 극한이 되는 가측 함수 를 취하자. 임의의 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 점별 수렴의 정의와 측도의 성질에 따라, 임의의 에 대하여,
이다. (함수 가 가측 함수이므로 위 집합들은 모두 가측 집합이다.) 따라서
인 이 존재한다.
이제
이라고 하자. 그렇다면
이며, 임의의 에 대하여,
이다. 즉, 는 위에서 로 균등 수렴한다.
예 편집
만약 조건이 없으면 이 정리는 거짓이다. 예를 들어, 함수
을 생각하자. 이는 점별로 0으로 수렴하지만, 임의의 유한 측도 르베그 가측 집합 에 대하여 이 함수열은 에서 균등 수렴하지 않는다.
역사 편집
이탈리아의 수학자 카를로 세베리니(이탈리아어: Carlo Severini)가 1910년에 증명하였으나, 이탈리아어 논문에 출판하여 주목받지 못했다.[3] 이듬해 드미트리 예고로프가 같은 정리를 재증명하여 유명 프랑스어 저널에 출판하였다.[4]
참고 문헌 편집
- ↑ Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 10일에 확인함.
- ↑ Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.
- ↑ Severini, Carlo (1910). “Sulle successioni di funzioni ortogonali”. 《Atti dell’Accademia Gioenia》. serie 5a, (이탈리아어) 3 (5): Memoria XIII, 1−7. JFM 41.0475.04.
- ↑ Egoroff, D. Th. (1911). “Sur les suites des fonctions mesurables”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 152: 244–246. JFM 42.0423.01.
외부 링크 편집
- Kudryavtsev, L.D. (2001). “Egorov theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Humphreys, Alexis. “Egorov's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Egorov's theorem”. 《ProofWiki》 (영어).