가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.
-힐베르트 공간 위의 조밀 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환
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에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을 위의 자기 수반 작용소라고 한다.
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- 대칭 작용소이며, 이다.
- 임의의 에 대하여, 이다. 또한, 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
- 특히, 임의의 에 대하여, 는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 로 유일하게 확장된다.
- 이며, 모든 에 대하여 이다. 여기서 는 에르미트 수반이다.
- 그래프 및 심플렉틱 사상 , 에 대하여, 이다.
- 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 과 가측 함수 과 전단사 유니터리 작용소 가 존재한다. (여기서 는 와의 점별 곱셈이다.)
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마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자(영어: multiplication operator)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.
제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간
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을 생각하자. 이 위에서, 작용소
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를 생각하자. 만약 가 제곱 적분 가능 함수라도 가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, 는 전체에 정의될 수 없다. 즉,
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이다. 이는 의 조밀 부분 공간이며, 임의의 에 대하여
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이다. 따라서 는 대칭 작용소이다. 또한, 임의의 에 대하여, 만약
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라고 하자. 즉,
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이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서
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이므로, 정의에 따라 이게 된다. 즉, 는 자기 수반 작용소이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 측도 공간
- 가측 함수 ( 은 보렐 시그마 대수)
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그렇다면, 위에 작용소
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를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
- 임의의 -힐베르트 공간 및 자기 수반 작용소 에 대하여, 이자 가 되는 측도 공간 와 가측 함수 와 (전단사) 유니터리 작용소 가 존재한다.
특히, 만약 이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값
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들은 모두 실수이다. 이 경우
- (크기 의 이산 가측 공간)
- (셈측도)
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가 된다.
- 곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1.
- Berezin, F. A.; Shubin, M. A. (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer.
- Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer-Verlag.
- Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press.
- Bonneau, Guy; Faraut, Jacques; Valent, Galliano (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. 《American Journal of Physics》 (영어) 69: 322–331. arXiv:quant-ph/0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351.