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위상수학에서, 주다발(主-, 영어: principal bundle)은 올이 위상군올다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 이고 올이 위상군 인 주다발은 국소적으로 와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다.

정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 올이  이고 밑이  주다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 올이  올다발  
  • 연속 오른쪽 작용  

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든  ,  에 대하여,  . 즉, 각  에 대하여,  는 올   위에 작용한다.
  • 임의의  에 대하여, 만약  이라면,   가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의  에 대하여, 오른쪽 작용  정추이적 작용이다. 여기서    위의  의 올이다.

두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

 

두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

 

만약

 매끄러운 주다발(-主-, 영어: smooth principal bundle)이라고 한다.

주다발 사상편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간  ,  
  • 위상군   
  •  -주다발  ,  

이 두 주다발 사이의 주다발 사상(영어: principal bundle morphism)  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:§1

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

 
 

즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.

 

주다발 사상  에서, 만약  이며,  항등 함수이며,  단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면)  구조군 축소(構造群縮小, 영어: reduction of structure group)라고 한다.

주연장편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  차원 매끄러운 다양체  
  • 리 군  
  •   위의 매끄러운  -주다발  
  • 자연수 (음이 아닌 정수)  

그렇다면, 다음과 같은,   위의 올다발을 정의할 수 있다.

 

여기서

  •    위의  틀다발이다. 이는   위의 주다발이며, 그 올군은   차원 제트 군  이다.
  •    위의  제트 다발이다. 이는   위의 벡터 다발이다.
  •    위의 두 올다발의 곱이다.

즉, 국소적으로  의 점은 다음과 같은 꼴이다.

 

여기서

  •  은 단사 매끄러운 함수이며,  열린집합이며,   역시 열린집합이다.
  •   의,  에서의  제트이다.
  •   단면이다.

이는   위의 주다발을 이룬다. 그 올군은

 

이다. 여기서

 

이며, 그 군 연산은 다음과 같다.

 

이 군은   위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

 

이를   주연장(主延長, 영어: principal prolongation)이라고 한다.[2]:150–151, §15.3[3]:Definition 3.4

성질편집

대역적 자명화의 존재편집

위상 공간   위의 주다발  에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형  )가 존재할 필요 충분 조건은 대역적 단면  가 존재하는 것이다. (이는  로 여길 수 있다.)

분류편집

위상군  에 대하여, 분류 공간  을 구성할 수 있다. 그렇다면, ( 에 대한 적절한 조건 아래)   위의  -주다발들의 동형류들은 연속 함수  들의 호모토피류들과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수  에 대응하는  주다발은  이다.

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자명 주다발편집

임의의 위상 공간  위상군  에 대하여,  는 군 작용

 

과 사영 사상

 

을 주면 주다발을 이룬다. 이를 자명 주다발(自明主-, 영어: trivial principal bundle)이라고 한다.

틀다발편집

위상 공간   위의  차원 벡터 다발  가 주어졌을 때, 어떤 표준적인  -주다발을 정의할 수 있으며, 이를 틀다발이라고 한다.

응용편집

주다발의 개념은 위상수학미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.

참고 문헌편집

  1. “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47 (1): 66–86. 2003년 7월. arXiv:math/0201235. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. 
  2. Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 18일에 확인함. 
  3. Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47: 66–86. Bibcode:2003JGP....47...66G. Zbl 1035.53035. arXiv:math/0201235. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. 

외부 링크편집

같이 보기편집