자기 수반 작용소

작용소 이론에서 자기 수반 작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator) 또는 자기 수반 연산자는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

$\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $H$ 위의 조밀 부분 집합 $D\subseteq H$가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환

$A\colon D\to H$

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을 $D$ 위의 자기 수반 작용소라고 한다.

$A\colon D\to H$

• 대칭 작용소이며, $\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}$이다.
• 임의의 $x,y\in D$에 대하여, $\langle x|A|y\rangle =\langle Ax|y\rangle$이다. 또한, 임의의 $x,y\in H$에 대하여, 만약 $\langle x|A=\langle y|\colon H\to \mathbb {K}$라면, $x\in D$이다.
  • 특히, 임의의 $x\in D$에 대하여, $\langle x|A=\langle Ax|\colon D\to \mathbb {K}$는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 $H\to \mathbb {K}$로 유일하게 확장된다.
• $\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}$이며, 모든 $u\in \operatorname {dom} A$에 대하여 $Au=A^{*}u$이다. 여기서 $A^{*}\colon \operatorname {dom} A^{*}\to H$는 에르미트 수반이다.
• 그래프 $\operatorname {graph} (A)=\{(x,Ax)\colon x\in H\}\subseteq H\oplus H$ 및 심플렉틱 사상 $J\colon H\oplus H\to H\oplus H$, $(x,y)\mapsto (-y,x)$에 대하여, $(J\operatorname {graph} A)^{\perp }=\operatorname {graph} A$이다.
• 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 $X$과 가측 함수 $f\colon X\to (\mathbb {R} ,\operatorname {Borel} (X))$과 전단사 유니터리 작용소 $UH\to \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )$가 존재한다. (여기서 $T_{f}\colon \operatorname {dom} T_{f}\to \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} ),\;\phi \mapsto f\phi$는 $f$와의 점별 곱셈이다.)
  • $U\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} T_{f}$
  • $UA=T_{f}U$

마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자(영어: multiplication operator)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.

성질

단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.^:65

유한 차원 힐베르트 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 위의 작용소 $A$에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

• $A$는 대칭 작용소이다.
• $A$는 자기 수반 작용소이다.
• $A$의 행렬은 에르미트 행렬이다.

대칭 확장

대칭 작용소 $A\colon \operatorname {dom} A\to {\mathcal {H}}$의 자기 수반 확장(영어: self-adjoint extension)은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 ${\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} {\tilde {A}}\to {\mathcal {H}}$이다.

• $\operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} {\tilde {A}}$
• $\forall v\in \operatorname {dom} A\colon Av={\tilde {A}}v$

대칭 연산자 $A$의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.^:81–84

$U\colon \operatorname {range} (A+i)^{\perp }\to \operatorname {range} (A-i)^{\perp }$

($\operatorname {range} (A+i)^{\perp }$은 ${\mathcal {H}}$의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.) 특히, $A$가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은

$\dim \operatorname {range} (A+i)^{\perp }=\dim \operatorname {range} (A-i)^{\perp }$

이다. 양변의 두 수를 $A$의 결점 지표(영어: deficiency index)라고 한다.

유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 본질적 자기 수반 작용소(영어: essentially self-adjoint operator)라고 한다.

예

제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간

$H=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )$

을 생각하자. 이 위에서, 작용소

$A\colon f\mapsto (x\mapsto xf(x))$

를 생각하자. 만약 $f$가 제곱 적분 가능 함수라도 $x\mapsto xf(x)$가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, $A$는 $H$ 전체에 정의될 수 없다. 즉,

$\operatorname {dom} A=\{f\in H\colon (x\mapsto xf(x))\in H\}\subsetneq H$

이다. 이는 $H$의 조밀 부분 공간이며, 임의의 $f,g\in \operatorname {dom} H$에 대하여

$\langle f|A|g\rangle =\int _{\mathbb {R} }{\overline {f(x)}}(xg(x))\,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }({\overline {xf(x)}})g(x)\,\mathrm {d} x=\langle Af|g\rangle$

이다. 따라서 $A$는 대칭 작용소이다. 또한, 임의의 $f,g\in H$에 대하여, 만약

$\langle f|A=\langle g|$

라고 하자. 즉,

$\forall h\in \operatorname {dom} A\colon \int _{\mathbb {R} }{\overline {f(x)}}xh(x)\,\mathrm {d} x=\int {\overline {g(x)}}h(x)$

이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서

$g=(x\mapsto xf(x))\in H$

이므로, 정의에 따라 $(x\mapsto xf(x))\in \operatorname {dom} A$이게 된다. 즉, $A$는 자기 수반 작용소이다.

곱셈 연산자

다음이 주어졌다고 하자.

• 측도 공간 $X$
• 가측 함수 $f\colon X\to (\mathbb {R} ,\operatorname {Borel} (\mathbb {R} ))$ ($\operatorname {Borel} (-)$은 보렐 시그마 대수)
• $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$

그렇다면, $H=\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )$ 위에 작용소

$T_{f}\colon \phi \mapsto \phi f$

를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• $\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )$ 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
• 임의의 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $H$ 및 자기 수반 작용소 $A\colon \operatorname {dom} A\to H$에 대하여, $U\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} T_{f}$이자 $UA=T_{f}U$가 되는 측도 공간 $X$와 가측 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$와 (전단사) 유니터리 작용소 $U\colon H\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )$가 존재한다.

특히, 만약 $H=\mathbb {K} ^{n}$이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 $n\times n$ 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값

$\{\lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\}$

들은 모두 실수이다. 이 경우

• $X=\{1,2,\dotsc ,n\}$ (크기 $n$의 이산 가측 공간)
• $\mu (S)=|S|$ (셈측도)
• $f\colon i\mapsto \lambda _{i}$

가 된다.

참고 문헌

• 곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1. 
• Berezin, F. A.; Shubin, M. A. (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer. 
• Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer-Verlag. 
• Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press. 
• Bonneau, Guy; Faraut, Jacques; Valent, Galliano (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. 《American Journal of Physics》 (영어) 69: 322–331. arXiv:quant-ph/0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351. 

외부 링크

• “Self-adjoint operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hermitian operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semi-bounded operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.