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호지-라플라스 연산자

콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자
(조화형식에서 넘어옴)

미분기하학에서, 호지-라플라스 연산자(Hodge-Laplace演算子, 영어: Hodge–Laplace operator) 또는 호지-드람 라플라스 연산자(Hodge-de Rham-Laplace演算子, 영어: Hodge–de Rham Laplacian) 또는 라플라스-드람 연산자(Laplace-de Rham演算子, 영어: Laplace–de Rham operator)는 콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이다. 호지-라플라스 연산자의 값이 0인 미분 형식조화 미분 형식(調和微分形式, 영어: harmonic differential form)이라고 하며, 호지 이론에 따라 이는 실수 계수 코호몰로지류와 표준적으로 대응된다.

정의편집

콤팩트 리만 다양체   위의 미분 형식실수 벡터 공간

 

을 생각하자. 임의의  에 대하여,  차 미분 형식의 벡터 다발 에서의 올공간

 

 차원 실수 벡터 공간이며, 리만 계량  로 인하여 이는 실수 내적 공간을 이룬다. 즉,  차 미분 형식의 벡터 다발은 양의 정부호 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다.

 

이에 따라  완비화  를 취할 수 있으며, 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다.

이 구조를 사용하여, 미분 형식외미분

 

에르미트 수반

 
 
 

 조밀 집합 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로  이다.

호지-라플라스 연산자는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다.

 

조화 미분 형식이라고 한다.

성질편집

스펙트럼편집

 이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.

접속을 통한 라플라스 연산자와의 관계편집

리만 다양체   위의 임의의  텐서장

 

에 대하여, 레비치비타 접속을 사용하여 다음과 같은 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다.

 

만약  일 경우,  텐서장 미분 형식과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 리만 곡률에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 바이첸뵈크 항등식(영어: Weitzenböck identity)이라고 한다.

다만, 스칼라 함수의 경우 ( ), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다.

 

증명:

차수로 인하여,  에 대하여  이다. 따라서

 

이다. 따라서, 임의의 함수  에 대하여

 

임을 보이면 족하다. 그런데 스토크스 정리에 의하여

 

이다.

조화 미분 형식편집

 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지  와 표준적으로 동형이다.

구체적으로, 닫힌 미분 형식  동치류

 

를 생각하자. 이 위에 힐베르트 공간 노름은 함수

 

를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다.

참고 문헌편집

  • Warner, Frank (1971). 《Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3. MR 722297. 

외부 링크편집