집합론
집합론(集合論, 영어: set theory)은 추상적 대상들의 모임인 집합을 연구하는 수학 이론이다. 집합론은 술어논리학과 함께 대부분의 수학기초론 체계의 근본으로, 현대 수학을 논리적으로 지탱하는 밑바탕이 된다.
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소박한 집합론에서는 집합을 단순히 대상들을 모아서 만들어지는 자명한 개념으로 이해한다. 중학교 및 고등학교 등의 교육과정에서 다루는 집합의 개념은 이에 해당한다.
소박한 집합론의 모순을 해결하기 위해 등장한 공리적 집합론은 집합들과 그 포함관계가 만족하는 공리들을 규정하는 방법으로 집합을 간접적으로 정의한다. 여기에서 집합과 그 포함관계는 유클리드 기하에서의 점이나 선과 같은 무정의 용어로 볼 수 있다. 공리적 집합론은 대부분의 경우 대학에서 수학을 전공하지 않는 이상 배우지 않는다.
공리적 집합론
편집공리적 집합론은 술어논리를 이용하여 기술한 체계를 가지고 집합의 성질을 규명하는 수학의 한 분야이다.
일차 술어논리를 사용한 공리적 집합론
편집단항 술어기호 ' '과 양항 술어기호인 포함관계 기호 ' '모두를 포함하거나 오로지 포함관계 기호만을 포함한 일차 술어논리 언어를 가지고 집합론을 구성할 수 있다. 일반적으로 대상 가 를 만족하면 를 집합이라 한다. 이 술어기호가 없는 집합론에서는 모든 대상을 집합으로 간주한다. 집합이 없는 대상을 원자(아톰, atom)이라 한다. 만일 이면 ' 가 의 원소다' 혹은 ' 가 를 포함한다((원소로) 가진다)'고 한다. 이는 기호로 표현한 것을 설명한다기보다는 자연어로 옮기는 방법을 서술한 것에 가깝다.
어떤 공리적 집합론에서도 보통 확장 공리는 채택하는 편이다. 확장 공리는 `집합 와 가 가지는 원소가 서로 꼭 같다면 이다.'를 말한다. 기호로 로 쓸 수 있다.
이제 소박한 집합론에서 말하는 '분명히 구별되는 대상들의 모임이 집합'이라는 정의를 공리적 집합론으로 가져오면 다음과 같이 표현할 수 있다. '임의의 개 자유변수 를 가지는 논리 공식 에 대하여 가 성립한다'로 표현할 수 있다. 여기서 변수자리에 쓴 는 그것이 어느 변수라도 될 수 있음을 표현하고자 한 것이다. 물론 변수 는 들 중 어느 하나라도 같아서는 안 된다. 그런데 이 공리는 도입하는 즉시 러셀의 역설과 유사한 역설에 직면하게 된다. 이를 피하기 위해 여러 방법이 사용되는데, 크게 세 가지로 구분된다. 하나는 분리공리만을 허용하는 것이고, 또 하나는 변수의 타입을 집합과 유로 구분하는 것이고, 또 하나는 사용할 수 있는 논리 공식에 제한을 두는 것이다. ZFC에서는 분리공리만을 허용하며, 변수 타입을 집합과 유로 구분하는 것은 NBG, 논리 공식에 제한을 두는 것은 New foundation에서 볼 수 있다.
같이 보기
편집참고 문헌
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외부 링크
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- 이석종 (2011). “집합론 및 실습”. Korea Open Courseware.