쪽매맞춤

평면 도형(타일)을 겹치지 않으면서 빈틈 없이 붙이는 것

쪽매맞춤 또는 쪽매붙임은 평면 도형을 겹치지 않으면서 빈틈이 없게 모으는 것이다. 테셀레이션(영어: tessellation) 또는 타일링(영어: tiling)이라고도 한다. 정다각형 중 쪽 맞추기가 가능한 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형이 있다. 쪽매맞춤에서는 평면 도형을 돌리고 뒤집는 것이 허용된다.[1] 우리 주변에서 볼 수 있는 테셀레이션은 천정, 건물, 옷감, 융단, 벽지 등이 있다. 테셀레이션은 정규 테셀레이션준정규 테셀레이션, 비정규 테셀레이션 등의 종류가 있다.

경복궁 벽돌에 나타난 테셀레이션

정다각형의 쪽매맞춤편집

정다각형 테셀레이션은 대표적으로 다음의 3가지로 분류된다.[2]

정규 테셀레이션편집

정규 테셀레이션(영어: regular tiling)은 한 가지 정다각형으로만 이루어진 테셀레이션을 뜻한다.[3] 정규 테셀레이션은 모서리 대 모서리(edge to edge)로 만나는 테셀레이션이기 때문에,[3] 한 꼭짓점에 여러 도형의 내각이 모이게 된다. 테셀레이션이 되는 한 정다각형의 내각의 크기는  로 나타난다. 한 점에 모이는 각은 360도이니, 한 내각의 크기가 360도의 약수인 정삼각형, 정사각형, 정육각형만 가능하다.[4]

 
36
정삼각형 타일링
 
44
정사각형 타일링
 
63
정육각형 타일링

준정규 테셀레이션편집

준정규 테셀레이션 또는 반정칙 테셀레이션(영어: semiregular tiling)은 두 가지 이상의 정다각형으로 이루어진 테셀레이션 중 한 점에 모이는 정다각형의 개수와 규칙이 같은 테셀레이션을 뜻하며 총 8가지다.[3]

 
34.6
다듬은 정육각형 타일링
 
3.6.3.6
삼육각형 타일링
 
33.42
늘린 삼각형 타일링
 
32.4.3.4
다듬은 정사각형 타일링
 
3.4.6.4
마름모 삼육각형 타일링
 
4.82
깎은 정사각형 타일링
 
3.122
깎은 정육각형 타일링
 
4.6.12
깎은 삼육각형 타일링

비정규 테셀레이션편집

비정규 테셀레이션 또는 k-균일 테셀레이션(k-uniform tiling)은 여러 평면도형으로 이루어진 테셀레이션 중 한 점에 모이는 정다각형들의 규칙이 각기 다른 테셀레이션을 뜻한다.

벽지군편집

 
이집트식 도안의 예. 이 평면은 p4m군에 속한다.

평면의 결정군 또는 벽지군(영어: wallpaper group)은 2차원 평면을 채우는 반복적인 패턴에 대해, 이 패턴들을 각 패턴이 가지고 있는 대칭성을 기준으로 하는 군으로 분류하는 방법이다. 이 패턴들은 총 17개의 군으로 분류할 수 있다.

볼록다각형 테셀레이션편집

  • 삼각형: 임의의 삼각형은 길이가 같은 변을 붙여서 평행사변형을 만들 수 있으니 테셀레이션이 가능하다.
  • 사각형: 임의의 사각형은 길이가 같은 변을 붙이고, 그 변의 각 중 크기가 서로 같지 않은 각끼리 만나도록 놓으면 마주보는 3쌍의 각의 크기가 같은 육각형이 된다. 그래서 테셀레이션이 가능하다.
 
사각형 타일링
 
15번째 볼록오각형 타일링
  • 육각형: 볼록 육각형 3종류만 테셀레이션이 가능하다는 것이 증명되었다.
  • 칠각형 이상: 칠각형 이상의 볼록 다각형은 테셀레이션이 불가능하다는 것이 증명되었다.

[5][6]

주기적 테셀레이션과 비주기적 테셀레이션편집

주기적 테셀레이션(en:periodic tiling)은 도형을 연결해서 기본 단위를 찾을 수 있는 것을 말한다.[5]

하지만 비주기적 테셀레이션(en:aperiodic tiling)은 기본 단위를 찾을 수 없고, 주기도 찾을 수 없는 테셀레이션을 말한다. 예를 들어 펜로즈 타일링이 있다.[5]

각주편집

  1. 《이토록 재미있는 수학이라니》. 미디어숲. 94쪽. ISBN 979-11-5874-079-5. 
  2. 정, 영우; 김, 부윤; 유, 현기; 김, 도영; 조, 하현 (2018년). “평면 테셀레이션에 대한 대수적 고찰 *”. 《부산대학교》. 
  3. Kell, Brian (2020년 2월 1일). “(영어) 21-110: Symmetry and tilings”. 《카네기 멜론 대학교》. 
  4. “다각형의 변신 (2부) 꽃담에 숨은 다각형의 원리”. 《즐거운 수학 EBS MATH > 중1 > 기하》. 
  5. 《이토록 재미있는 수학이라니》. 미디어숲. 94~102쪽. ISBN 979-11-5874-079-5. 
  6. “서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 오각형 쪽매맞춤”. 《한국경제》. 

같이 보기편집