기번스-호킹 가설 풀이

미분기하학에서 기번스-호킹 가설 풀이(Gibbons-Hawking假設풀이, 영어: Gibbons–Hawking ansatz)는 U(1) 대칭을 가지는 4차원 초켈러 다양체를 작도하는 가설 풀이이다.

정의

4차원 초켈러 다양체가 한 킬링 벡터장을 가져, U(1) 등거리 대칭군을 갖는다고 하자. 그렇다면, 이는 어떤 3차원 공간 위의 U(1) 주다발로 여길 수 있다. 따라서, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 3차원 유클리드 공간의 열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$
• $U$ 위의 U(1) 주다발 $\pi \colon P\twoheadrightarrow U$
• $P$ 위의 U(1) 주접속 $A\in \Omega ^{1}(P;\mathrm {i} \mathbb {R} )$
  • 그렇다면, 그 주곡률은 어떤 $F\in \Omega ^{2}(U)$에 대하여 $\mathrm {d} A=\pi ^{*}\mathrm {i} F$의 꼴이다. 또한, $F/2\pi =\mathrm {d} \omega$인 $\omega \in \Omega ^{1}(U)$를 고르자.
• 매끄러운 함수 $V\colon U\to \mathbb {R}$

또한, 이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$\star \mathrm {d} V=F/2\pi$

그렇다면, $\mathrm {d} \star \mathrm {d} V=\mathrm {d} F/2\pi =0$이므로 $V$는 조화 함수이다.

그렇다면, 계량

$g=V({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+V({\vec {r}})^{-1}\,(A/2\pi )^{2}$

은 $P$ 위의 초켈러 다양체 리만 계량을 정의한다. 이를 기번스-호킹 가설 풀이라고 한다. 구체적으로 $A/2\pi =\mathrm {d} \theta +\omega$가 되며, 여기서 $\theta$는 U(1) 올다발의 올의 좌표로, 주기가 $4\pi$이다.

예

기번스-호킹 가설 풀이를 통하여 에구치-핸슨 공간이나 기타 점근 국소 유클리드 공간을 구성할 수 있다. ADE 분류에서, A계 공간들은

$V({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}|}}$

의 꼴의 퍼텐셜로 구성된다.

마찬가지로, 토브-너트 공간 및 기타 점근 국소 평탄 공간(영어: asymptotically locally flat space) 역시 이과 같이 구성된다. 이 경우

$V({\vec {r}})=1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}|}}$

와 같은 퍼텐셜을 사용한다.

역사

게리 기번스와 스티븐 호킹이 1978년에 도입하였다.

외부 링크

• Foscolo, Lorenzo. “Notes on the Ooguri–Vafa metric” (PDF) (영어). 2019년 7월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 7월 4일에 확인함.