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평행 운송을 통해, 서로 다른 점에서의 올 사이의 동형을 정의할 수 있다.

미분기하학에서, 평행 운송(平行運送, 영어: parallel transport)은 올다발 속의 에레스만 접속을 사용하여 정의되는, 곡선의 양 끝점의 올 사이의 함수이다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체  
  • 실수 폐구간  
  • 조각마다 매끄러운 연속 곡선  
  • 매끄러운 올다발  
  •  에레스만 접속 (수평 다발)  

그렇다면,   로의 올림(영어: lift)은 다음 그림이 가환하게 되는 곡선

 

이다.

 

  위에 에레스만 접속  가 주어졌다고 하자. 만약  가 다음 조건을 만족시킨다면,  에 대하여 수평 올림(水平-, 영어: horizontal lift)이라고 한다.

 

즉, 올림의 접벡터가 항상 수평이어야 한다 (수평 다발  에 속해야 한다).

주어진 에레스만 접속   및 초기 조건  에 대하여, 모든 곡선은  근방에서 유일한 수평 올림을 갖는다. (그러나 일반적으로 곡선의 대역적 수평 올림은 존재하지 않을 수 있다.) 즉, 이는 함수

 

를 정의한다. 이를  의,  를 따른 평행 운송(平行運送, 영어: parallel transport)이라고 한다.

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벡터 다발편집

 매끄러운 벡터 다발이며, 에레스만 접속이  코쥘 접속  로 주어진다고 하자. 이 경우, 평행 운송

 

는 두 실수 벡터 공간 사이의 실수 선형 변환을 이룬다.

특히, 만약  폐곡선이라면, 이는 일반 선형군의 원소를 이룬다.

 

이러한 폐곡선 평행 운송들이 구성하는 군을 홀로노미라고 한다.

주다발편집

리 군  에 대하여   -매끄러운 주다발이며, 에레스만 접속이  주접속이라고 하자. 이 경우, 마찬가지로 평행 운송

 

을 정의할 수 있다. 만약  폐곡선이라면,

 

는 어떤 군 원소  오른쪽 군 작용에 의하여 주어진다.

 

즉, 이 경우 평행 운송은  의 원소로 주어진다.

외부 링크편집