군론 에서 군의 작용 (群의作用, 영어 : group action )은 어떤 군 으로부터, 어떤 집합의 대칭군 으로 가는 군 준동형 이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군 의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.
모노이드 M {\displaystyle M} 의, 집합 X {\displaystyle X} 위의 왼쪽 작용 (영어 : left action of M {\displaystyle M} on X {\displaystyle X} )은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 M × X → X {\displaystyle M\times X\to X} 로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형 으로, 또는 함자 로도 생각할 수 있다. 모노이드 M {\displaystyle M} 의 작용을 갖춘 집합을 M {\displaystyle M} -집합 (영어 : M {\displaystyle M} -set )이라고 한다. 두 M {\displaystyle M} -집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수 (等變函數, 영어 : equivariant function )라고 한다. M {\displaystyle M} -집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주 가 존재하며, 이를 M -Set {\displaystyle M{\text{-Set}}} 또는 Set M {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}} 으로 쓴다.
모든 군 은 모노이드 를 이루며, 군의 작용 (영어 : group action )은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군 의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 M {\displaystyle M} 의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수 가 아니게 작용할 수 있다.)
함수를 통한 정의
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모노이드 M {\displaystyle M} 의, 집합 X {\displaystyle X} 위의 왼쪽 작용 (영어 : left action of M {\displaystyle M} on X {\displaystyle X} )은 다음 조건들을 만족시키는 함수 ⋅ : M × X → X {\displaystyle \cdot \colon M\times X\to X} 이다.
(모노이드 항등원은 항등 함수 ) 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, 1 M ⋅ x = x {\displaystyle 1_{M}\cdot x=x} . 여기서 1 M ∈ M {\displaystyle 1_{M}\in M} 은 M {\displaystyle M} 의 항등원이다.
(모노이드 연산은 함수의 합성 ) 임의의 m , n ∈ M {\displaystyle m,n\in M} 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, ( m n ) ⋅ x = m ⋅ ( n ⋅ x ) {\displaystyle (mn)\cdot x=m\cdot (n\cdot x)} 모노이드 M {\displaystyle M} 의, 집합 X {\displaystyle X} 위의 오른쪽 작용 (영어 : right action of G {\displaystyle G} on X {\displaystyle X} )은 다음 조건들을 만족시키는 함수 ⋅ : X × M → X {\displaystyle \cdot \colon X\times M\to X} 이다.
(모노이드 항등원은 항등 함수 ) 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, x ⋅ 1 M = x {\displaystyle x\cdot 1_{M}=x} . 여기서 1 M ∈ M {\displaystyle 1_{M}\in M} 은 M {\displaystyle M} 의 항등원이다.
(모노이드 연산은 함수의 합성 ) 임의의 m , n ∈ M {\displaystyle m,n\in M} 및 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여, x ⋅ ( m n ) = ( x ⋅ m ) ⋅ n {\displaystyle x\cdot (mn)=(x\cdot m)\cdot n} 모노이드 M {\displaystyle M} 의 작용을 갖춘 두 집합 X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} 이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.
∀ x ∈ X , m ∈ M : m ⋅ f ( x ) = f ( m ⋅ x ) {\displaystyle \forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)} 여기서 좌변은 Y {\displaystyle Y} 위의 작용이고, 우변은 X {\displaystyle X} 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.
M × X → X M × f ↓ ↓ f M × Y → Y {\displaystyle {\begin{matrix}M\times X&\to &X\\{\scriptstyle M\times f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\M\times Y&\to &Y\end{matrix}}} 준동형을 통한 정의
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추상적으로, 모노이드 M {\displaystyle M} 의, 집합 X {\displaystyle X} 위의 왼쪽 작용 은 M {\displaystyle M} 에서 X {\displaystyle X} 위의 자기 함수 들의 모노이드 End X {\displaystyle \operatorname {End} X} 로 가는 모노이드 준동형
ϕ : M → End X {\displaystyle \phi \colon M\to \operatorname {End} X} 이며, M {\displaystyle M} 의 X {\displaystyle X} 위의 오른쪽 작용 은 반대 모노이드 M op {\displaystyle M^{\operatorname {op} }} 에서 End X {\displaystyle \operatorname {End} X} 로 가는 모노이드 준동형
M op → End X {\displaystyle M^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} X} 이다. 만약 G {\displaystyle G} 가 군 일 경우, 왼쪽 작용은 X {\displaystyle X} 의 대칭군 (=자기 동형군 ) Sym X {\displaystyle \operatorname {Sym} X} 으로 가는 군 준동형
G → Sym X {\displaystyle G\to \operatorname {Sym} X} 을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군 에서의 군 준동형
G op → Sym X {\displaystyle G^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Sym} X} 을 이룬다.
모노이드 M {\displaystyle M} 의 작용을 갖춘 두 집합
ϕ X : M → End X {\displaystyle \phi _{X}\colon M\to \operatorname {End} X}
ϕ Y : M → End Y {\displaystyle \phi _{Y}\colon M\to \operatorname {End} Y} 이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 이다.
M → ϕ X End X ϕ Y ↓ ↓ f ∘ End Y → ∘ f hom ( X , Y ) {\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi _{X}}}&\operatorname {End} X\\{\scriptstyle \phi _{Y}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\circ \\\operatorname {End} Y&{\xrightarrow[{\circ f}]{}}&\hom(X,Y)\end{matrix}}} 범주론적 정의
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범주론 적으로, M {\displaystyle M} 의 작용 은 M {\displaystyle M} 을 하나의 대상을 갖는 작은 범주 로 간주하였을 때, 함자
F : M → Set {\displaystyle F\colon M\to \operatorname {Set} } 와 동치이다. 이 경우, M {\displaystyle M} 이 작용하는 집합은 범주 M {\displaystyle M} 의 유일한 대상 ∙ M {\displaystyle \bullet _{M}} 의 F {\displaystyle F} 에 대한 상 F ( ∙ M ) ∈ Set {\displaystyle F(\bullet _{M})\in \operatorname {Set} } 이며, m ∈ M {\displaystyle m\in M} 의 작용은 F {\displaystyle F} 에 대한 상 F ( m ) : F ( ∙ M ) → F ( ∙ M ) {\displaystyle F(m)\colon F(\bullet _{M})\to F(\bullet _{M})} 이다.
두 M {\displaystyle M} -집합
F : M → Set {\displaystyle F\colon M\to \operatorname {Set} }
G : M → Set {\displaystyle G\colon M\to \operatorname {Set} } 사이의 등변 함수 F ⇒ G {\displaystyle F\Rightarrow G} 는 두 함자 사이의 자연 변환 과 동치 이다. 구체적으로, 자연 변환 η : F ⇒ G {\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G} 에 대응하는 등변 함수는 η {\displaystyle \eta } 의 성분
η ∙ M : F ( ∙ M ) → G ( ∙ M ) {\displaystyle \eta _{\bullet _{M}}\colon F(\bullet _{M})\to G(\bullet _{M})} 이다.
따라서, M {\displaystyle M} -집합의 범주 Set M {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}} 은 사실 (작은 범주 로 간주한) M {\displaystyle M} 에서 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 로 가는 함자 범주와 동치 이다.
궤도와 안정자군
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군 G {\displaystyle G} 가 집합 X {\displaystyle X} 에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 궤도 (軌道, 영어 : orbit ) G ⋅ x {\displaystyle G\cdot x} 는 다음과 같다.
G ⋅ x = { g ⋅ x : g ∈ G } {\displaystyle G\cdot x=\{g\cdot x\colon g\in G\}} 궤도는 G {\displaystyle G} 위의 동치 관계
x ∼ y ⟺ ∃ g ∈ G : g ⋅ x = y {\displaystyle x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y} 의 동치류 와 같으며, X {\displaystyle X} 는 궤도들로 분할 된다.
임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 의 안정자군 (安定子群, 영어 : stabilizer subgroup ) G x {\displaystyle G_{x}} 는 다음과 같다.
G x = { g ∈ G : g ⋅ x = x } {\displaystyle G_{x}=\{g\in G\colon g\cdot x=x\}} 즉, 안정자군 G x {\displaystyle G_{x}} 는 G {\displaystyle G} 의 원소 중 x {\displaystyle x} 를 고정점 으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.
작용 준군
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모노이드 M {\displaystyle M} 이 집합 X {\displaystyle X} 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 를 정의할 수 있다.
C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 의 대상은 X {\displaystyle X} 의 원소이다.
x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} 에 대하여, hom C ( x , y ) = { m ∈ M : m x = y } {\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\}} 이다.
x ∈ X {\displaystyle x\in X} 위의 항등 사상은 1 M ∈ hom C ( x , x ) {\displaystyle 1_{M}\in \hom _{\mathcal {C}}(x,x)} 이다.이를 작용 범주 (作用範疇, 영어 : action category , translation category )라고 한다.[1] :315, 3.3.1 만약 M {\displaystyle M} 이 군 이라면, X {\displaystyle X} 위의 작용 범주는 준군 을 이룬다. 이를 작용 준군 (作用準群, 영어 : action groupoid , translation groupoid )이라고 한다.
작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.
군의 왼쪽 작용 ⋅ : G × X → X {\displaystyle \cdot \colon G\times X\to X} 이 주어졌을 때,
g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여 g ⋅ : X → X {\displaystyle g\cdot \colon X\to X} 는 전단사 함수 이다.
(역원은 역함수 ) g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여 g − 1 ⋅ = ( g ⋅ ) − 1 {\displaystyle g^{-1}\cdot =(g\cdot )^{-1}} 이다. 여기서 ( g ⋅ ) − 1 {\displaystyle (g\cdot )^{-1}} 는 전단사 함수의 역함수 이다. 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계
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임의의 모노이드 M {\displaystyle M} 에 대하여, 왼쪽 M {\displaystyle M} -작용은 오른쪽 M op {\displaystyle M^{\operatorname {op} }} -작용과 같다. 여기서 M op {\displaystyle M^{\operatorname {op} }} 은 M {\displaystyle M} 의 반대 모노이드 이다. 특히, 가환 모노이드 는 스스로의 반대 모노이드 와 표준적으로 동형 이므로, 가환 모노이드 의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.
모든 군 G {\displaystyle G} 는 그 반대군 과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형
− 1 : G → G op {\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname {op} }} 이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 G {\displaystyle G} -작용을 왼쪽 G {\displaystyle G} -작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 G {\displaystyle G} -작용 r : X × G → X {\displaystyle r\colon X\times G\to X} 에 대하여,
ℓ : G × X → X {\displaystyle \ell \colon G\times X\to X}
ℓ ( g , x ) = r ( x , g − 1 ) {\displaystyle \ell (g,x)=r(x,g^{-1})} 로 정의한다면, ℓ {\displaystyle \ell } 은 왼쪽 G {\displaystyle G} -작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 G {\displaystyle G} -작용 ℓ : G × X → X {\displaystyle \ell \colon G\times X\to X} 가 주어졌을 때
r : X × G → X {\displaystyle r\colon X\times G\to X}
r ( x , g ) = ℓ ( g − 1 , x ) {\displaystyle r(x,g)=\ell (g^{-1},x)} 는 오른쪽 G {\displaystyle G} -작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치 이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)
궤도-안정자군 정리
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안정자군 G x {\displaystyle G_{x}} 는 G의 부분군 이므로 그 왼쪽 잉여류 를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리 (軌道-安定子群定理, 영어 : orbit–stabilizer theorem )에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.
G ⋅ x {\displaystyle G\cdot x} 의 원소 g ⋅ x {\displaystyle g\cdot x} 를 왼쪽 잉여류 g G x {\displaystyle gG_{x}} 로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 에 대하여, g ⋅ x = h ⋅ x {\displaystyle g\cdot x=h\cdot x} 라면 g G x = h G x {\displaystyle gG_{x}=hG_{x}} 이다.
이 함수는 전단사 함수 이다. 즉, 임의의 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 에 대하여, g G x = h G x {\displaystyle gG_{x}=hG_{x}} 라면 g ⋅ x = h ⋅ x {\displaystyle g\cdot x=h\cdot x} 이다. 특히, 만약 G {\displaystyle G} 가 유한군 이면, 라그랑주 정리 에 의해 다음이 성립한다.
| G ⋅ x | = [ G : G x ] = | G | / | G x | {\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]=|G|/|G_{x}|} 보편대수학적 성질
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모노이드 M {\displaystyle M} 에 대하여, M {\displaystyle M} -집합은 M {\displaystyle M} 의 각 원소 m ∈ M {\displaystyle m\in M} 에 대하여 1항 연산 m ⋅ {\displaystyle m\cdot } 을 가지며, 대수적 관계
1 ⋅ x = x ∀ x ∈ X {\displaystyle 1\cdot x=x\qquad \forall x\in X}
m ⋅ ( n ⋅ x ) = ( m n ) ⋅ x ∀ x ∈ X {\displaystyle m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad \forall x\in X} 를 만족시키는 대수 구조 이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, M {\displaystyle M} -집합들은 대수 구조 다양체 를 이룬다.
집합 X {\displaystyle X} 위의 자유 M {\displaystyle M} -집합은 곱집합 M × X {\displaystyle M\times X} 이며, 그 위의 작용은
m ⋅ ( n , x ) = ( m n , x ) {\displaystyle m\cdot (n,x)=(mn,x)} 이다.
범주론적 성질
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모노이드 M {\displaystyle M} 에 대하여, M {\displaystyle M} -집합의 범주 Set M {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}} 은 (작은 범주 에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스 를 이룬다.[2] 특히, 이는 완비 범주 이자 쌍대 완비 범주 이며 데카르트 닫힌 범주 이다.
Set M {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}} 의 시작 대상 은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합 이다.
Set M {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}} 의 끝 대상 은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합 이다. Set M {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}} 의 Set M {\displaystyle \operatorname {Set} ^{M}} 의 부분 대상 분류자 R M {\displaystyle R_{M}} 은 M {\displaystyle M} 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼 들의 집합
R M = { I ⊆ M : I M ⊆ I } {\displaystyle R_{M}=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}} 이다.[2] 이 위의 M {\displaystyle M} 의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.
M × R M → R M {\displaystyle M\times R_{M}\to R_{M}}
( m , I ) ↦ m I {\displaystyle (m,I)\mapsto mI} 망각 함자
U : Set M → Set {\displaystyle U\colon \operatorname {Set} ^{M}\to \operatorname {Set} } 가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 F {\displaystyle F} 와 오른쪽 수반 함자 G {\displaystyle G} 를 갖는다.[2]
F ⊣ U ⊣ G {\displaystyle F\dashv U\dashv G} 왼쪽 수반 함자 F {\displaystyle F} 는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 X {\displaystyle X} 를 M × X {\displaystyle M\times X} 로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 G {\displaystyle G} 는 집합 X {\displaystyle X} 를 함수들의 집합 X M {\displaystyle X^{M}} 으로 대응시킨다. M {\displaystyle M} 의 X M {\displaystyle X^{M}} 위의 작용은 다음과 같다.
( m ⋅ f ) ( n ) = f ( m n ) {\displaystyle (m\cdot f)(n)=f(mn)}
군 G {\displaystyle G} 가 집합 X {\displaystyle X} 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.
추이적 작용
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군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n -추이적 작용 (n -推移的作用, 영어 : n -transitive action )이라 한다.
임의의 서로 다른 원소들 x 1 , … , x n ∈ X {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X} 및 임의의 서로 다른 원소들 y 1 , … , y n ∈ X {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\in X} 에 대하여, g ⋅ x k = y k {\displaystyle g\cdot x_{k}=y_{k}} (∀ k ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \forall k\in \{1,\dots ,n\}} )인 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재한다. 만약 여기서 이러한 g {\displaystyle g} 가 유일하다면, 이를 n -정추이적 작용 (n -正推移的作用, 영어 : sharply n -transitive action )이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n -정추이적 작용이라고 한다.
임의의 서로 다른 원소들 x 1 , … , x n ∈ X {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X} 및 임의의 서로 다른 원소들 y 1 , … , y n ∈ X {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\in X} 에 대하여, g ⋅ x k = y k {\displaystyle g\cdot x_{k}=y_{k}} (∀ k ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \forall k\in \{1,\dots ,n\}} )인 유일한 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 가 존재한다. 1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용 (推移的作用, 영어 : transitive action )이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용 (正推移的作用, 영어 : sharply transitive action ) 또는 정칙 작용 (正則作用, 영어 : regular action )이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치 이며, 아벨 군 의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.
충실한 작용과 자유 작용
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군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용 (忠實-作用, 영어 : faithful action ) 또는 효과적 작용 (效果的作用, 영어 : effective action )이라고 한다.
임의의 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 에 대하여, 만약 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 g ⋅ x = h ⋅ x {\displaystyle g\cdot x=h\cdot x} 라면, g = h {\displaystyle g=h}
임의의 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 에 대하여, 만약 임의의 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 에 대하여 g ⋅ x = x {\displaystyle g\cdot x=x} 라면, g = 1 G {\displaystyle g=1_{G}}
단사 군 준동형이다. 군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용 (自由作用, 영어 : free action ) 또는 반정칙 작용 (半正則作用, 영어 : semiregular action )이라고 한다.
임의의 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 에 대하여, 만약 g ⋅ x = h ⋅ x {\displaystyle g\cdot x=h\cdot x} 인 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다면, g = h {\displaystyle g=h}
임의의 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} 에 대하여, 만약 g ⋅ x = x {\displaystyle g\cdot x=x} 인 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 가 존재한다면, g = 1 G {\displaystyle g=1_{G}} 같이 보기
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참고 문헌
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외부 링크
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