희박 콤팩트 공간

일반위상수학에서, 희박 콤팩트 공간(稀薄compact空間, 영어: feebly compact space, lightly compact space)은 콤팩트 공간의 개념의 변형이다.

정의

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 희박 콤팩트 공간이라고 한다.

• 임의의 열린집합들의 집합족 ${\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, 만약 ${\mathcal {U}}$가 국소 유한 집합족이라면, ${\mathcal {U}}$는 유한 집합이다.

성질

다음 함의 관계가 성립한다.

가산 콤팩트 공간 ⊊ 희박 콤팩트 공간 ⊊ 유사콤팩트 공간

증명 (가산 콤팩트 공간 ⇒ 희박 콤팩트 공간):

만약 $X$가 위상 공간이며, $\{U_{0},U_{1},\dots \}$가 가산 무한 개의 열린집합들의 국소 유한 집합족이라면,

$\left\{X\setminus \bigcup _{i\geq n}\operatorname {cl} U_{i}\colon n=0,1,2,\dots \right\}$

는 $X$의 가산 열린 덮개이며, 유한 부분 덮개를 갖지 않는다.

증명 (희박 콤팩트 공간 ⇒ 유사콤팩트 공간):

희박 콤팩트 공간 $X$가 주어졌으며, $f\colon X\to \mathbb {R}$가 임의의 연속 함수라고 하자. 그렇다면,

$\{f^{-1}((i-1,i+1))\colon i=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$

는 $X$의 국소 유한 열린 덮개이다. 따라서 이는 유한 덮개이며, $f(X)$는 유한 개의 열린구간 $(i-1,i+1)$들의 합집합에 포함된다. 즉, $f(X)$는 유계 집합이다.

완비 정칙 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:207, Theorem 3.10.22}

• 희박 콤팩트 공간이다.
• 유사콤팩트 공간이다.

증명:

완비 정칙 공간 $X$가 주어졌으며, $\{U_{0},U_{1},\dots \}$가 가산 무한 개의 열린 집합들의 국소 유한 집합족이라고 하자. 모든 $i=0,1,2,\dots$에 대하여 $x_{i}\in U_{i}$를 고르자. 완비 정칙성에 따라

$f_{i}(x_{i})=1$

$f_{i}|_{X\setminus U_{i}}=0$

인 연속 함수 $f_{i}\colon X\to [0,1]$가 존재한다. 함수

$f=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}\colon X\to [0,\infty )$

를 생각하자. 국소 유한성에 따라, 이는 국소적으로 유한합이며, 국소적으로 연속 함수이다. 따라서 $f$는 연속 함수이며, 또한 유계 함수가 아니다.

정규 하우스도르프 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 가산 콤팩트 공간이다.
• 희박 콤팩트 공간이다.
• 유사콤팩트 공간이다.

증명:

정규 하우스도르프 공간 $X$가 가산 콤팩트 공간이 아니라고 하자. T₁ 공간의 경우 가산 콤팩트 공간과 극한점 콤팩트 공간이 동치이므로, $X$는 극한점 콤팩트 공간이 아니다. $\{x_{0},x_{1},\dots \}\subseteq X$가 가산 무한 집합이며, 극한점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 이는 닫힌집합이며, 이산 공간이다. 함수

$f\colon \{x_{0},x_{1},\dots \}\to \mathbb {R}$

$f(x_{i})=i\forall i\in \{0,1,\dots \}$

를 생각하자. $\{x_{0},x_{1},\dots \}$가 이산 공간이므로 이는 연속 함수이다. 티체 확장 정리에 따라, 이를 확장하는 연속 함수

$g\colon X\to \mathbb {R}$

$g(x_{i})=i\forall i=0,1,\dots$

가 존재한다. $g$는 유계 함수가 아니므로, $X$는 유사콤팩트 공간이 아니다.

예

임의의 정규 하우스도르프 공간 $X$ 및 닫힌집합 $Y\subseteq X$에 대하여, 스톤-체흐 콤팩트화 사이의 표준적인 매장 $\beta Y\hookrightarrow \beta X$가 존재한다. 이제, 다음과 같은 위상 공간을 생각하자.

$\beta \mathbb {R} \setminus (\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} )$

이는 유사콤팩트 공간이자 희박 콤팩트 공간이지만, 가산 콤팩트 공간이 아니다.^{:208, Example 3.10.29}

외부 링크

• “Feebly compact space”. 《Topospaces》 (영어).