티호노프 공간

(완비 정칙 공간에서 넘어옴)

일반위상수학에서, 티호노프 공간(Тихонов空間, 영어: Tychonoff space) 또는 T 공간(영어: T space)은 점과 닫힌집합연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간부분 공간인 조건과 동치이다.

위상 공간분리공리
T0콜모고로프 공간
T1 
T2하우스도르프 공간
T우리손 공간
완전 T완비 하우스도르프 공간
T3정칙 하우스도르프 공간
T티호노프 공간
T4정규 하우스도르프 공간
T5완비 정규 하우스도르프 공간
T6완전 정규 하우스도르프 공간

정의편집

위상 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, 영어: completely regular space)이라고 한다.

  • (점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합   에 대하여,  이며  연속 함수  이 존재한다.[1]:231
  • (균등화 가능성 영어: uniformizability)   위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.

위상 공간  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다.

성질편집

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[1]:231–232

정규 하우스도르프 공간(T4) ⊊ 티호노프 공간(T) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T3) ∩ 완비 하우스도르프 공간)

완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.[2]:141[3]:211 하우스도르프 공간부분 공간곱공간하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.

증명:

완비 정칙 공간  와 그 부분 공간  가 주어졌다고 하자. 닫힌집합   가 주어졌다고 하자. 그렇다면  닫힌집합  가 존재하며, 이에 대하여  ,  연속 함수  이 존재한다.  라고 하자. 그렇다면  연속 함수이며,   을 만족시킨다.

완비 정칙 공간들의 집합  가 주어졌다고 하자. 곱공간  닫힌집합   가 주어졌다고 하자. 다음과 같은  열린 근방  를 취하자.

 
 
 

그렇다면 각  에 대하여,  ,  연속 함수  이 존재한다.

 
 

라고 하자. 그렇다면  연속 함수이며,   을 만족시킨다.

역사편집

안드레이 니콜라예비치 티호노프의 이름이 붙어 있다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. 유정옥 (2013). 《알기쉬운 위상수학》 2판. 교우사. ISBN 978-89-8172-528-0. 
  2. James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001. 
  3. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

외부 링크편집