주 메뉴 열기

리 군론에서, 5차원 회전군(五次元回轉群, 영어: five-dimensional rotation group)은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

정의편집

단순 리 대수의 분류에서,  형을 생각하자. 이는 딘킨 도표

 

에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군   및 그 스핀 군  의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

  (5차원 로런츠 군)
 

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군

 

이며, 마찬가지로 분할 형태

 

가 존재한다.

이들은 다음과 같이 대응한다.

킬링 형식의 부호수 기호 직교군 기호 심플렉틱 군 기호 군의 중심 기본군 사타케 도표 보건 도표 비고
(0,10) B₂, C₂ Spin(5)     0     단일 연결 콤팩트 형태
SO(5)   0   무중심 콤팩트 형태
(6,4) B₂Ⅰ, C₂Ⅰ Spin(2,3)           분할 형태
SO⁺(2,3)   0   무중심 분할 형태
(4,6) B₂Ⅱ, C₂Ⅱ Spin(1,4)     0    
SO⁺(1,4)   0  

성질편집

콤팩트 형태편집

Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는   또는  의 정의(定義) 표현이다.

콤팩트 형태에서,  는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉,

 

이다. (여기서  에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)

이것의 군의 중심은 다음과 같다.

 

이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다.

 

 의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다.

 
 

분할 형태편집

Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간등각군이다.  의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는  의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다.

이는 심플렉틱 군

 
 

에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심 에 해당한다.

로런츠 형태편집

이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다.

심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.

 
 

이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.

 
 

표현론편집

리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다.

표현 SO(5) 해석 SO(5) 영 타블로 USp(4) 해석 USp(4) 영 타블로
4 스피너 벡터
5 벡터 무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)
10 반대칭 2-텐서 (5×4/2!)
대칭 2-텐서 (4×5/2!) □□
14 무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1) □□ 4-텐서 □□
□□
16 라리타-슈윙거 장 (4×(5−1)) □■ 3-텐서 □□

즉,

 
 
 

이다.

참고 문헌편집

  • Holman, Wayne J. Ⅲ (1969). “Representation Theory of SP(4) and SO(5)”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 10: 1710. doi:10.1063/1.1665018. 

외부 링크편집