H-공간(H-space)과 쌍대 H-공간(co-H-space)은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.

정의 편집

위상 공간  가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 연속 함수  
  • 항등원  : 모든  에 대해   가 모두 항등 함수  와 호모토피 동치가 되게 한다.

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 H-군(H-group)이라 부른다.

쌍대 H-공간 편집

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 연속 함수  
  • 항등원  

예와 성질 편집

위상군 편집

위상군  와 그 연산  는 그 자체로 H-군을 이룬다.

초구 편집

초구의 경우 H-공간이 되는 것은  ,  ,  ,  밖에 없다.  을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

 일 경우 초구  에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다:

  • 0차원 세포 1개  . 이는  의 적도 위의 한 점이다.
  •  차원 세포 1개. 즉,  차원 뼈대는 초구  이다. 이는  적도에 해당한다.
  •  차원 세포 2개. 이들은 각각  의 북반구와 남반구에 대응한다.

적도에 있는  차원 세포  에 대한 몫공간  을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.

 

몫공간 함수  을 연산자로 삼아서   위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.

현수 공간과 고리 공간 편집

일반적으로 임의의 점을 가진 공간  에 대하여 그 축소 현수  는 쌍대 H-공간을 이룬다.   위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.

 

여기서  분쇄곱,  쐐기합이고,  은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우  이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간  는 H-공간을 이룬다. 구체적으로,   위의 곱셈은 다음과 같다.

 

여기서

 
 
 

이다.

에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간 편집

아벨 군   및 자연수  에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간  는 다른 공간의 고리 공간이다.

 

그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간  은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군   의 경우 피터슨 공간  는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.

 

그러므로 피터슨 공간  은 쌍대 H-공간을 이룬다.

호모토피류의 연산 편집

호모토피 군은 초구에서 공간  으로 가는 호모토피류  로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수  에 의해 정의된다:

 

일반적으로, 쌍대 H-공간  에서 공간  로 가는 호모토피류   위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

거꾸로 공간  에서 H-공간  로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우  의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수  고리 공간  는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:

 

특히,  이므로 호모토피 군에 대해  가 성립한다.

역사 편집

장피에르 세르하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.[1]

참고 문헌 편집

  1. J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755.