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체흐 코호몰로지

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간  
  •   위의 아벨 군 준층  

그렇다면, 각 자연수  에 대하여,   계수  체흐 코호몰로지  아벨 군이다. 이는 구체적으로 공사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 추상적으로 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

이 개념은 일반적으로 사용되는  에 의존한다. 그러나   위의 열린 덮개들은 유항체계(directed system)를 이루며, ( 에 의존하지 않는)  체흐 코호몰로지  를 모든 열린 덮개  에 대한 코호몰로지  귀납적 극한이다. 즉,

 

이다.

구체적 정의편집

단체와 사슬편집

 체흐 단체(Čech單體, 영어: Čech simplex)  는 그 교집합이 0이 아닌,  개의  의 원소의 순서쌍  이다. 단체의 지지 집합(영어: support)  은 다음과 같은, 모든 성분들의 교집합이다.

 

 차 체흐 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군 이라고 하자.  의 원소를  체흐 사슬(영어: Čech chain)이라고 한다.

 차 체흐 단체  부분 경계(部分境界, 영어: partial boundary)  는 다음과 같다.

 .

 경계(境界, 영어: boundary)  는 다음과 같다.

 .

마찬가지로  차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다.  차 사슬의 경계는  차 사슬이다.

공사슬편집

 체흐 공사슬(Čech共-, 영어: Čech cochain)   차 단체  아벨 군 원소  와 대응시키는 함수이다.  차 공사슬의 집합을  라고 하자. 이는 점별 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary)

 

는 다음과 같다. 단체  에 대하여,

 .

여기서

 

부분 집합에 대한 제한 사상이다. 계산을 통해  임을 확인할 수 있다. 따라서 이는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지

 

라고 하자.

유도 함자 구성편집

체흐 코호몰로지는 보다 추상적으로 유도 함자를 통해 정의할 수 있다. 즉, 0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다.

 

여기서  는 0차 체흐 공사슬, 즉 각  에 대하여  의 원소  를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약  이라면 이는 대역 단면  과 같지만, 준층이라면 같을 필요가 없다.

0차 체흐 코호몰로지는 함자

 

를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있으며, 그 오른쪽 유도 함자들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다.

 

여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자  는 단면 함자  와 일치하며, 이 함자의 오른쪽 유도 함자는 단순히 층 코호몰로지와 같다.

성질편집

특이 코호몰로지와의 관계편집

임의의 아벨 군  에 대하여, 그 상수층  을 생각하자. 만약 위상 공간  CW 복합체호모토피 동치라면, 그   계수 체흐 코호몰로지는   계수 특이 코호몰로지와 표준적으로 동형이다.

 

그러나 체흐 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 다르게 되는 위상 공간이 존재한다.

체흐-유도 함자 스펙트럼 열편집

체흐 코호몰로지는 특정한 경우 유도 함자로 정의된 층 코호몰로지와 일치한다. 이 사실은 마이어-피토리스 스펙트럼 열(영어: Mayer–Vietoris spectral sequence) 또는 체흐-유도 함자 스펙트럼 열(영어: Čech-to-derived-functor spectral sequence)의 존재에 의하여 함의된다.[1][2]:Théorème 5.4.1

구체적으로, 위상 공간   위의 아벨 군 값의  열린 덮개  가 주어졌다고 하자.  가 다음과 같은 준층이라고 하자.

 

그렇다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열의 두 번째 쪽은 다음과 같다.

 

만약  가 두 개의 열린집합만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 마이어-피토리스 열로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

 

여기서   범주,  준층 범주를 뜻한다.

적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 층 코호몰로지로 수렴한다.

 

특히, 만약 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면  층 코호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 충분조건은 다음과 같다.

  • 모든 유한 부분 집합  에 대하여  비순환층이다 (즉,  이다).

이를 르레 정리(영어: Leray’s theorem)라고 하고, 이 조건을 만족시키는 열린 덮개르레 덮개(영어: Leray cover)라고 한다.[3]

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낮은 차수의 체흐 공사슬편집

편의상 체흐 공사슬  의 값을

 

으로 표기하자.

낮은 차수의 체흐 공경계 및 체흐 공사슬이 체흐 공순환이 될 조건은 다음과 같다. (편의상, 자명한 제약 사상들을 생략하였다.)

차수 공경계 공순환 조건
0    
1    
2    
3    

위상수학자의 사인 곡선편집

위상수학자의 사인 곡선

 

폐포

 

의 경우, 체흐 코호몰로지와 특이 코호몰로지가 서로 일치하지 않는다. 구체적으로,

 
 

이다.

스킴편집

분리 스킴 위의 연접층에 대하여, 열린 아핀 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다.

  • 분리 스킴의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 교집합 역시 열린 아핀 부분 스킴이다.
  • 연접층의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 비순환층이다.

역사편집

러시아파벨 알렉산드로프[4]체코에두아르트 체흐[5] 가 도입하였다. 르레 정리는 장 르레가 1950년에 도입하였다.[3]

참고 문헌편집

  1. Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001. 
  2. Godement, Roger (1973). 《Topologie algébrique et théorie des faisceaux》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1252 3판. 파리: Hermann. MR 0345092. Zbl 0275.55010. 
  3. Leray, Jean (1950). “L’anneau spectral et l’anneau filtré d’homologie d’un espace localement compact et d’une application continue”. 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》 (프랑스어) 29: 1–139. 
  4. Alexandroff, Paul (1929). “Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension”. 《Annals of Mathematics》 (독일어) 30 (2): 101–187. doi:10.2307/1968272. JFM 54.0609.02. JSTOR 1968272. 
  5. Čech, Eduard (1932). “Théorie générale de l’homologie dans un espace quelconque”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 19 (1): 149–183. Zbl 0005.21802. 

외부 링크편집