Hom 함자

수학에서, 특히 범주론에서 hom 집합 (즉, 대상 사이의 사상들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 함자를 생성한다. 이러한 함자는 ${\textbf {hom}}$ 함자라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다.

공식적인 정의

$C$를 국소적으로 작은 범주(즉, hom-classes가 고유 모임이 아니고 집합인 범주)라고 가정한다.

$C$의 모든 대상 $A$와 $B$에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다.

Hom(A, –) : C → Set	Hom(–, B) : C → Set
이는 다음과 같이 주어지는 공변 함자이다: ${\text{Hom}}(A,-)$는 $X\in C$를 사상들의 집합 ${\text{Hom}}(A,X)$로 보낸다. ${\text{Hom}}(A,-)$는 각 사상 $f:X\rightarrow Y$를 각 $g\in {\text{Hom}}(A,X)$에 대해$g\mapsto f\circ g$로 주어지는 함수${\text{Hom}}(A,f):{\text{Hom}}(A,X)\rightarrow {\text{Hom}}(A,Y)$로 보낸다.	이는 다음과 같이 주어지는 반변 함자이다: ${\text{Hom}}(-,B)$는 각 대상 $X\in C$를 사상들의 집합${\text{Hom}}(X,B)$로 보낸다. ${\text{Hom}}(-,B)$는 각 사상 $h:X\rightarrow Y$를 각 $g\in {\text{Hom}}(Y,B)$에 대해 ${\text{Hom}}(h,B):{\text{Hom}}(Y,B)\rightarrow {\text{Hom}}(X,B)$로 보낸다.

함자 ${\text{Hom}}(-,B)$은 대상 $B$의 점 함자라고도 한다.

${\text{Hom}}$의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다.

한 쌍의 함자 ${\text{Hom}}(A,-),{\text{Hom}}(-,B)$는 자연스러운 방식으로 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 $f:B'\rightarrow B$와 $h:A'\rightarrow A$에 대해 도식

은 가환이다. 두 경로 모두 $g:A\rightarrow B$를 $f\circ g\circ h:A'\rightarrow B'$로 보낸다.

위 도식의 가환성은 ${\text{Hom}}(-,-)$이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 $C\times C$에서 ${\textbf {Set}}$로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게, ${\text{Hom}}(-,-)$를

${\text{Hom}}(-,-):C^{\text{op}}\rightarrow {\textbf {Set}}$

인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 $C^{\text{op}}$는 $C$의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 ${\text{Hom}}(-,-)$에 ${\text{Hom}}_{C}(-,-)$ 표기법이 사용되는 경우가 있다.

요네다 보조정리

위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상

$h:A'\rightarrow A$

은 자연 변환

${\text{Hom}}(h,-):{\text{Hom}}(A,-)\rightarrow {\text{Hom}}(A',-)$

을 가져온다. 그리고 모든 사상

$f:B'\rightarrow B$

은 자연 변환

${\text{Hom}}(-,f):{\text{Hom}}(-,B)\rightarrow {\text{Hom}}(-,B')$

을 가져온다. 요네다 보조정리는 ${\text{Hom}}$ 함자 사이의 모든 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉, ${\text{Hom}}$ 함자는 함자 범주 ${\textbf {Set}}^{C^{\text{op}}}$(사용되는 ${\text{Hom}}$ 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 $C$를 완전하고 충실하게 매장하도록 한다.

내부 Hom 함자

일부 범주에는 ${\text{Hom}}$ 함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 ${\textbf {Set}}$이 아니라 범주 $C$ 자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 내부 ${\text{Hom}}$ 함자라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다.

$\left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C$

곱과 같은 특성을 강조하거나

$\mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C$

그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로:

$\operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.$ 예를 보려면 관계 범주를 참조.

내부 Hom 함자가 있는 범주를 닫힌 범주라고 한다. 하나는 그것을 가지고

$\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)$

여기서 $I$는 닫힌 범주의 단위 대상이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 커링 개념으로 확장된다.

$\operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)$

여기서 $\otimes$는 모노이드 범주를 정의 하는 내부 곱 함자인 쌍함자이다. 그 동형 사상은 $X$와 $Z$모두에서 자연스럽다. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부 ${\text{Hom}}$ 함자는 내부 곱 함자에 대한 인접 함자이다. 대상 $Y\Rightarrow Z$은 내부 ${\textbf {Hom}}$이라고 한다. $\otimes$가 데카르트 곱 $\times$일 때, 대상 $Y\Rightarrow Z$는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 $Z^{Y}$과 같이 나타낸다.

내부 ${\text{Hom}}$는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 데카르트 폐쇄 범주의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다.

성질

함자

${\text{Hom}}(-,A):C^{\text{op}}\rightarrow {\textbf {Set}}$

가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 ${\text{Hom}}(A,-)$은 여준층이다.

함자 $F:C\rightarrow {\textbf {Set}}$에서 일부 $A$에 대해 자연스럽게 ${\text{Hom}}(A,-)$과 동형인 집합을 표현 가능한 함자(또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 ${\text{Hom}}(-,A)$에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다.

${\text{Hom}}(-,-):C^{\text{op}}\times C\rightarrow {\textbf {Set}}$은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 $\operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C$이다.

내부 ${\text{hom}}$ 함자는 극한을 보존한다. $\operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C$는 극한을 극한으로 보내는 반면 $\operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C$는 $C^{\text{op}}$안의 극한, 즉, $C$ 안의 여극한을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다.

기타 성질

${\textbf {A}}$가 아벨 범주이고 $A$가 ${\textbf {A}}$의 대상인 경우 ${\text{Hom}}_{\textbf {A}}(A,-)$는 ${\textbf {A}}$에서 아벨 군의 범주 ${\textbf {Ab}}$까지의 공변 왼쪽 완전 함수이다. $A$가 사영인 경우에만 완전하다.

$R$을 환이라고 하고 $M$을 왼쪽 $R$-가군이라고 하자. 함자 ${\text{Hom}}_{\textbf {R}}(M,-):{\textbf {Mod}}{\text{-}}R\rightarrow {\textbf {Ab}}$는 텐서 곱 함자 $\otimes _{R}M:{\textbf {Ab}}\rightarrow {\textbf {Mod}}{\text{-}}R$에 인접한다.

같이 보기

• Ext 함자
• 함자 범주
• 표현 가능 함자

참조

• Mac Lane, Saunders (September 1998). 《Categories for the Working Mathematician》 Seco판. Springer. ISBN 0-387-98403-8. 
• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. 《Topoi, the Categorial Analysis of Logic》 Revis판. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. 2020년 3월 21일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2009년 11월 25일에 확인함. 
• Jacobson, Nathan (2009). 《Basic algebra》 2 2판. Dover. ISBN 978-0-486-47187-7. 

외부 링크

• “Hom functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Internal Hom”. 《nLab》 (영어).