QR 분해

선형대수학에서, QR 분해(영어: QR decomposition, QR factorization)는 실수 행렬직교 행렬상삼각 행렬의 곱으로 나타내는 행렬 분해이다.[1] 그람-슈미트 과정이나 하우스홀더 행렬이나 기븐스 회전을 통해 얻을 수 있으며, 선형 최소 제곱법이나 QR 알고리즘에서 쓰인다.

정의편집

실수체 또는 복소수체   성분의   ( ) 행렬  는 다음과 같이 분해할 수 있으며, 이를  QR 분해라고 한다.

 

여기서

  •    성분의   유니터리 행렬이다.
  •    성분의   상삼각 행렬이다.

몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

  •  일 경우,  직교 행렬이 된다.
  •  가역 행렬일 경우,  의 열들은 항상  의 열공간의 정규 직교 기저를 이룬다. 또한  의 모든 대각 원소가 양수인 QR 분해는 유일하다.

방법편집

그람-슈미트 과정편집

벡터  일차독립이라 하자. 행렬   에 대해, 그람-슈미트 직교정규화를 사용하면

 

사영 연산자를 이용해서

 
 

와 같이 직교정규기저  를 얻을 수 있다.

 내적  노름

위 식을 다시 정리하면

 

가 되므로,

 
 

와 같이 놓으면  이 성립한다.

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정규 직교 행렬   의 성질을 갖고있고,

따라서,  는 다음과 같이 그람-슈미트 절차를 따라서,

 
 

그리고,

 
 

확인해보면,

 이므로,
 
 이다.
 분해 된다.

그러나,

분수에의한 부동소수점연산이 관계함으로 오차가 발생할 수 있다.

RQ 분해와의 관계편집

  분해는 행렬  상삼각행렬  (직각 삼각형이라고도 함) 및 직교 행렬  의 곱으로 변환한다.  분해와의 유일한 차이점은 행렬의 순서이다.

 분해는 첫 번째 열에서 시작된   행렬의 열의 그람-슈미트 직교화이다.

  분해는 마지막 행에서 시작하는   행렬의 행의 그람-슈미트 직교화이다.

장점과 단점편집

그람-슈미트 프로세스는 본질적으로 수치적으로 불안정할 수 있다. 투영법의 적용에는 직교화에 대한 주요한 기하학적 유추가 있지만 직교화 자체는 수치 오류가 발생하기 쉽다. 그러나 구현의 용이함이 중요한 장점이다. 사전 작성된 선형 대수 라이브러리(library)를 사용할 수 없거나 용이하지 않은 경우, 이 알고리즘을 프로토타입(prototype)에 사용할 수 있는 유용한 알고리즘으로 적용할 수 있다.

하우스홀더 방법편집

하우스홀더 리플렉터(하우스홀더 변환,Householder reflection)를 이용하여 한 열씩을 상삼각행렬로 바꾸어감으로써   을 구할 수 있다. 이 방법은  행렬을 하우스홀더 행렬의 곱으로 구해주기 때문에, 직접  를 구할 필요가 없을 때 유용하다. 또, 그람-슈미트 방법과는 달리, 부동소수점 연산에서도 오차가 누적되지 않기 때문에, 실제로 더 많이 활용된다.

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먼저 행렬   의 첫 번째 열을 벡터로 변환하는 리플렉션을 찾아야한다.

 에서,
벡터  
 
 
 
 

따라서,

 
 

하우스홀더 행렬   에서,

 
 
 
 

확인해보면,

 

삼각행렬에 접근하고 있음을 알수있다.   열에서  의 성분 값을  으로 만들면 상삼각행렬을 얻게 된다.

  소행렬식에서 다시 위의 절차를 반복해보면,

 

위와 같은 방법으로 하우스홀더 변환(Householder transformation)된 행렬을 얻고,

 
 에서 각각 전치행렬을 수행한 후 프로세스가 올바르게 작동하는지 확인해보고,

  그리고나서,

 

그리고,

 
 

행렬  직교행렬이고  상삼각행렬이되고    분해된다.

기븐스 회전편집

기븐스 행렬은 특정위치에서 성분값을  으로 조작할 수 있는 방법으로 기븐스 회전을 제공한다.

이것은 임의의 행렬을 직교행렬과 특정위치의 성분값이  상삼각행렬로 분해되게 유도할 수 있게된다.

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  으로 조작된다.
 

  그리고   도 이러한 절차를 반복한다.

  그리고  으로 조작된다.

결과로 상삼각행렬 을 얻는다. 따라서,

 
 
 

직교행렬에서,

 

그리고,  이다.

 로 분해된다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Lay, David C. (2012). 《Linear Algebra and Its Applications》 4판. Pearson Education. ISBN 978-0-321-38517-8. 

참고 문헌편집