4차원 회전군

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리 군론에서 4차원 회전군(四次元回轉群, 영어: four-dimensional rotation group)은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.

정의

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4차원 특수 직교군   및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군  이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

  (4차원 로런츠 군)
 

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

이 군에 대응하는 딘킨 도표

 

이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다.

이들은 다음과 같이 대응된다.

킬링 형식의 부호수 실수 기반 기호 복소수 · 사원수 기반 기호 군의 중심 기본군 비고
(0,4) Spin(4)     0 단일 연결 콤팩트 형태
SO(4)      
PSO(4)   0 0 무중심 콤팩트 형태
(4,2) Spin(2,2)     0 단일 연결 분할 형태
SO⁺(2,2)      
PSO⁺(2,2)   0   무중심 분할 형태
(3,3) Spin(1,3)     0 단일 연결 로런츠 군
SO⁺(1,3)   0   무중심 로런츠 군
(2,4) SO*(4)    

성질

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콤팩트 형태

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Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는  의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

 
 

에 해당한다.

마찬가지로,  의 4차원 실수 정의(定義) 표현은  의 쌍벡터 표현

 

에 해당한다.

부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식호지 쌍대대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은  의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

차원 SO(4) 묘사 SU(2)² 묘사 (스핀)
2 (복소수) 오른쪽 스피너 (0,½)
2 (복소수) 왼쪽 스피너 (½,0)
4 (실수) 벡터 (½,½)
3 (실수) 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 (0,1)
3 (실수) 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 (1,0)
6 (복소수) 오른쪽 라리타-슈윙거 장 (½,1)
6 (복소수) 왼쪽 라리타-슈윙거 장 (1,½)
9 (실수) 무대각합 대칭 2-텐서 (1,1)

4차원 유클리드 공간사원수의 공간

 

으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식

 

가 주어져 있다. 여기서 우변의  사원수의 켤레이다.

사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.

 

즉, 이는   위의, 가역 사원수의 리 군  의 2차 직접곱

 

표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식  을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군

 

은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

 

를 정의하며, 그 은 다음과 같은 2차 순환군이다.

 

분할 형태

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Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.)  의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는  의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현

 
 

에 해당한다.

부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식호지 쌍대대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로  의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.

차원 SO(2,2) 묘사 SL(2)² 묘사 (스핀)
2 (실수) 오른쪽 마요라나-바일 스피너 (0,½)
2 (실수) 왼쪽 마요라나-바일 스피너 (½,0)
4 (실수) 벡터 (½,½)
3 (실수) 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 (0,1)
3 (실수) 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 (1,0)
6 (실수) 오른쪽 라리타-슈윙거 장 (½,1)
6 (실수) 왼쪽 라리타-슈윙거 장 (1,½)
9 (실수) 무대각합 대칭 2-텐서 (1,1)

이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군

 

이다. 이는  에서

 

에 해당하며,  에서 이 중심 부분군은 몫군

 

에 해당한다. 중심에 대한 몫군은

 

이다.

구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간   위에, 행렬식

 

은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식

 

을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다.

기저 벡터        
노름 +1 −1 +1 −1

  위에는  가 다음과 같이 작용한다.

 

이는 일반적으로 쌍선형 형식  을 보존하지 않으나, 그   부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형

 

을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 은 2차 순환군

 

이다.

로런츠 형태

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 은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군)

 

이다.

 의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는  의 정의 표현   및 그 복소수 켤레  에 대응한다.  의 4차원 실수 정의 표현   의 표현

 

에 대응한다.

이 부호수에서, 호지 쌍대2차 미분 형식대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식  에 대하여

 

이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는  이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현기약 표현이기 때문이다.

구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자.

 

  위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다.

 

쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다.

기저 벡터        
노름 +1 +1 +1 −1

즉,  민코프스키 공간  으로 여길 수 있다.

이 위에는 다음과 같은 꼴의  작용이 존재한다.

 

이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형

 

을 정의한다. 그 은 물론

 

이다.

SO*(4)

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SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.

 

여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표  는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.

 
 
 
 
 

즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.

같이 보기

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참고 문헌

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외부 링크

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