누적 위계

집합론에서 누적 위계(累積位階, 영어: cumulative hierarchy)는 주어진 연산을 초한 점화식을 사용하여 초한 번 반복하여 구성되는 모임이다.

정의

$Q$가 집합을 집합에 대응시키는 연산이라고 하자. 또한, 추이적 집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

$Q^{\alpha }(X)={\begin{cases}X\cup \bigcup _{\beta <\alpha }X_{\beta }&\nexists \beta \colon \alpha =\beta +1\\Q\left(Q^{\beta }(X)\right)&\alpha =\beta +1\end{cases}}\qquad (\alpha \in \operatorname {Ord} )$

또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

$Q^{\operatorname {Ord} }(X)=\bigcup _{\alpha \in \operatorname {Ord} }(X)$

여기서 $\operatorname {Ord}$는 모든 순서수의 모임이다. 이러한 구성을 누적 위계라고 하며, 임의의 대상 $x\in Q^{\operatorname {Ord} }(X)$에 대하여,

$\min\{\alpha \colon x\in Q^{\alpha }\}$

를 $x$의 $Q^{\operatorname {Ord} }(X)$에서의 계수(영어: rank)라고 한다. (만약 $Q$가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.)

성질

$Q$가 집합을 집합으로 대응시키므로, 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 $Q^{\alpha }(X)$는 항상 집합이다.

그러나 $Q^{\operatorname {Ord} }(X)$는 집합이 아니라 고유 모임일 수 있다. 이는 칸토어 역설의 일종이다.

예

자명한 경우

어떤 집합 $A$에 대하여, $Q$가 상수 함수 $X\mapsto A$일 때, $Q$에 대한 위계는

$Q^{\operatorname {Ord} }=A$가 된다.

$Q$가 항등 함수 $X\mapsto X$일 때, $Q$에 대한, $X$로부터 시작하는 위계는

$Q^{\operatorname {Ord} }(X)=X$

이다. 보다 일반적으로, 어떤 순서수 $\alpha _{0}$가 다음 성질을 갖는다고 하자.

• 임의의 $\alpha \geq \alpha _{0}$에 대하여 $Q$는 $X_{\alpha }$에 대하여 항등 함수이다.

그렇다면

$Q^{\operatorname {Ord} }(X)=Q^{\alpha }(X)$

이다.

폰 노이만 전체

$Q={\mathcal {P}}$ (멱집합 연산)일 때, $Q^{\alpha }(\varnothing )$는 $V_{\alpha }$로 표기하며, $V=Q^{\operatorname {Ord} }(\varnothing )$를 폰 노이만 전체(von Neumann全體, 영어: von Neumann universe)라고 한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리로 인하여 $V$는 모든 집합의 모임과 같으며, 집합 $S$의 계수 $\operatorname {rank} S$는 다음과 같은 순서수이다.

$\operatorname {rank} S=\min\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon S\subset V_{\alpha }\}$

즉, $S$가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다.

$V$는 (모든 집합을 포함하므로) 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수를 $\omega$로 쓰면, $V_{\omega }$는 계승적 유한 집합들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. $\kappa$가 도달 불가능한 기수일 경우 $V_{\kappa }$는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, $V_{\kappa +1}$은 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 $V_{\kappa }$를 그로텐디크 전체라고 한다.

구성 가능 전체

 이 부분의 본문은 구성 가능 전체입니다.

$Q=\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}$ (정의 가능 멱집합 연산)일 때, $Q^{\alpha }(X)$는 $L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)$로 표기하며, $L(X)=Q^{\operatorname {Ord} }(X)$를 $X$-구성 가능 집합(영어: $X$-constructible universe)이라고 한다. 흔히 $X=\varnothing$일 경우 $L[A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}](\varnothing )=L$로 표기하며, $n=0$일 경우 흔히 $L(X)$로 표기한다.

이름

 이 부분의 본문은 이름 (강제법)입니다.

임의의 집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

$Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)$

에 대한 누적 위계를 $X$-이름 위계(영어: hierarchy of $X$-names)라고 하며,^{:188, Definition VII.2.5} $\operatorname {Name} _{X,\alpha }$로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

역사

1889년에 주세페 페아노는 참 또는 모든 대상들의 모임을 라틴어: vērum 베룸^[*](참)의 머리글자 V로 나타내었다.^{:VIII, XI} (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.)

이후 1928년에 존 폰 노이만이 초한 귀납법을 도입하였으나, 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.^{:279, §4.10} 곧 에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체 $V$를 최초로 도입하였다.^{:36–40:270, §4.9}

각주

• Boolos, George (1971년 4월 22일). “The iterative conception of set”. 《The Journal of Philosophy》 (영어) 68 (8): 215–231. doi:10.2307/2025204. ISSN 0022-362X. JSTOR 2025204. 
• Forster, Thomas (2008년 6월). “The iterative conception of set”. 《The Review of Symbolic Logic》 (영어) 1 (1): 97–110. doi:10.1017/S1755020308080064. 

외부 링크

• “Cumulative hierarchy”. 《nLab》 (영어). 
• “Von Neumann hierarchy”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: Von Neumann hierarchy”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: Well-founded set”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: rank (set theory)”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Set has rank”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Every set in von Neumann universe”. 《ProofWiki》 (영어). 2015년 6월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 26일에 확인함.