근판정법

근판정법(根判定法, 영어: root test)은 무한급수의 수렴판정법으로, 다음 식을 이용해 수렴성을 판정한다.

$\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

여기서 limsup은 상극한, a_n은 급수의 항이다.

이 판정법은 실수, 복소수, 더 나아가 노름 벡터 공간 위의 벡터를 항으로 하는 급수에 적용된다.

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 처음 고안하였다.

내용

급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$에 대하여,

$C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

의 값을 1과 비교하여 수렴성을 판단할 수 있다. 즉,

• C < 1이면, 급수는 절대수렴한다.
• C > 1이면, 급수는 발산한다.
• C = 1이면, 수렴성을 단정짓지 못한다. 발산, 조건수렴, 절대수렴 모두 가능하다.

수열 ⁿ√|a_n|의 극한이 존재한다면, C를 극한으로 대신할 수 있다.

증명

C < 1이면, 임의의 n > m(m은 어떤 자연수)에 대해 |a_n|^1/n < r, 즉 |a_n| < rⁿ인 실수 r < 1(예를 들어 r = C + 1/2)이 존재한다. 따라서 기하급수의 수렴성과 비교판정법에 의해 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대수렴한다.

C > 1이면, 1보다 큰 무한 개의 a_n이 존재한다. 따라서 a_n은 0으로 수렴하지 않으며, $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 발산한다

C = 1

근판정법은 C = 1일 경우 효력을 잃는다. 다음 급수들은 C = 1이며 각기 다른 수렴성을 가진다.

• 조화급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$는 무한대로 발산한다.
• 조화급수의 교대급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}$은 조건수렴한다.
• 디리클레 급수의 한 예인 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$은 절대수렴한다.
• 그란디 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$은 발산한다.

그러나 C = 1이어도 ⁿ√|a_n| > 1이 충분히 큰 모든 n에 대해 성립하면 급수가 발산한다는 결론이 있다.

멱급수

이 부분의 본문은 코시-아다마르 정리입니다.

근 판정법은 멱급수의 수렴반지름을 논할 때 유용하다. 멱급수

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}$ (z는 복소변수, c_n과 p는 복소상수)

의 수렴역은 p를 중심으로 하며, 반지름은 다음과 같다.

${\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}$

같이 보기

• 비판정법#근판정법과의 관계

참고 문헌

• Knopp, Konrad (1956). 〈§ 3.2〉. 《Infinite Sequences and Series》 (영어). Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6. 
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). 〈§ 2.35〉. 《A Course in Modern Analysis》 (영어) four판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)