근판정법
근판정법(根判定法, 영어: root test)은 무한급수의 수렴판정법으로, 다음 식을 이용해 수렴성을 판정한다.
여기서 limsup은 상극한, an은 급수의 항이다.
이 판정법은 실수, 복소수, 더 나아가 노름 벡터 공간 위의 벡터를 항으로 하는 급수에 적용된다.
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 처음 고안하였다.
내용편집
급수 에 대하여,
의 값을 1과 비교하여 수렴성을 판단할 수 있다. 즉,
수열 n√|an|의 극한이 존재한다면, C를 극한으로 대신할 수 있다.
증명편집
C < 1이면, 임의의 n > m(m은 어떤 자연수)에 대해 |an|1n < r, 즉 |an| < rn인 실수 r < 1(예를 들어 r = C + 12)이 존재한다. 따라서 기하급수의 수렴성과 비교판정법에 의해 은 절대수렴한다.
C > 1이면, 1보다 큰 무한 개의 an이 존재한다. 따라서 an은 0으로 수렴하지 않으며, 은 발산한다
C = 1편집
근판정법은 C = 1일 경우 효력을 잃는다. 다음 급수들은 C = 1이며 각기 다른 수렴성을 가진다.
그러나 C = 1이어도 n√|an| > 1이 충분히 큰 모든 n에 대해 성립하면 급수가 발산한다는 결론이 있다.
멱급수편집
근 판정법은 멱급수의 수렴반지름을 논할 때 유용하다. 멱급수
- (z는 복소변수, cn과 p는 복소상수)
의 수렴역은 p를 중심으로 하며, 반지름은 다음과 같다.
같이 보기편집
참고 문헌편집
- Knopp, Konrad (1956). 〈§ 3.2〉. 《Infinite Sequences and Series》 (영어). Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). 〈§ 2.35〉. 《A Course in Modern Analysis》 (영어) four판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.