상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서 를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학 에서, 점렬 의 개념은 그물 과 필터 (또는 필터 기저 )로 일반화된다. 필터 는 집합족 의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족 에 대하여 일반화된다.
또한, 임의의 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} f {\displaystyle f} x 0 {\displaystyle x_{0}} 근방 에서 취하는 값들의 집합족 을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 f {\displaystyle f} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X}
Y {\displaystyle Y} 완비 격자 라고 하자. Y {\displaystyle Y} 집합족 B ⊆ P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)} Y {\displaystyle Y} 부분 집합
{ sup B : B ∈ B } {\displaystyle \{\sup B\colon B\in {\mathcal {B}}\}} { inf B : B ∈ B } {\displaystyle \{\inf B\colon B\in {\mathcal {B}}\}} 을 정의할 수 있다. 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 하향 집합족 라면 이들 역시 하향 집합 이며, 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 상집합 이라면 이들 역시 상집합 이다. 즉, 만약 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 필터 라면 이들 역시 필터 이다.
증명:
B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 하향 집합족 이라고 하면, 임의의 B 1 , B 2 ∈ B {\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}} B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}} B 3 ∈ B {\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}} sup B 3 ≤ sup ( B 1 ∩ B 2 ) ≤ ( sup B 1 ) ∧ ( sup B 2 ) {\displaystyle \sup B_{3}\leq \sup(B_{1}\cap B_{2})\leq (\sup B_{1})\land (\sup B_{2})}
B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 가
상집합 이며, 임의의
B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} 및
y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 에 대하여,
sup B ≤ y {\displaystyle \sup B\leq y} 라고 하자. 그렇다면
B ∪ { y } ∈ B {\displaystyle B\cup \{y\}\in {\mathcal {B}}} 이며
sup ( B ∪ { y } ) = y {\displaystyle \sup(B\cup \{y\})=y} 이다.
이제, Y {\displaystyle Y} 하우스도르프 위상 이 부여되었다고 하고, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 하향 집합족 이라고 하자. 그렇다면,
sup : B → Y {\displaystyle \sup \colon {\mathcal {B}}\to Y} sup : ( B ∈ B ) → sup B {\displaystyle \sup \colon (B\in {\mathcal {B}})\to \sup B} 는 그물 을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 상극한 은 이 그물의 극한이다.
lim sup B = lim B → ⊥ sup B {\displaystyle \limsup {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \bot }\sup B} 마찬가지로, B ⊆ P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)} 상향 집합족 이라고 하자. 그렇다면,
inf : B → Y {\displaystyle \inf \colon {\mathcal {B}}\to Y} inf : ( B ∈ B ) ↦ inf B {\displaystyle \inf \colon (B\in {\mathcal {B}})\mapsto \inf B} 는 그물 을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 하극한 은 이 그물의 극한이다.
lim inf B = lim B → ⊤ inf B {\displaystyle \liminf {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \top }\inf B} 그물과 점렬
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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
부분 순서 가 주어진 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 상향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} Y {\displaystyle Y} 그물 y : I → Y {\displaystyle y\colon I\to Y} 그렇다면, 그물 y {\displaystyle y} 필터 기저
tail ( y ) = { { y i : i ≤ i 0 } : i 0 ∈ I } {\displaystyle \operatorname {tail} (y)=\left\{\{y_{i}\colon i\leq i_{0}\}\colon i_{0}\in I\right\}} 를 생각하자. 그물 y {\displaystyle y} 상극한 및 하극한 은 필터 기저 tail ( y ) {\displaystyle \operatorname {tail} (y)} 필터 )의 상극한·하극한이다.
lim sup i → ∞ y i = lim sup tail ( y ) {\displaystyle \limsup _{i\to \infty }y_{i}=\limsup \operatorname {tail} (y)} lim inf i → ∞ y i = lim inf tail ( y ) {\displaystyle \liminf _{i\to \infty }y_{i}=\liminf \operatorname {tail} (y)} 특히, Y {\displaystyle Y} 점렬 y : N → Y {\displaystyle y\colon \mathbb {N} \to Y} 그물 의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.
특히, Y {\displaystyle Y} 순서 위상 이 부여된 전순서 집합 이며, 모든 상한 과 하한 이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 Y = R ¯ = [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}
lim sup i → ∞ y i = lim i 0 → ∞ sup i ≥ i 0 y i = inf i 0 ∈ I sup i ≥ i 0 y i {\displaystyle \limsup _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}=\inf _{i_{0}\in I}\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}} lim inf i → ∞ y i = lim i 0 → ∞ inf i ≥ i 0 y i = sup i 0 ∈ I inf i ≥ i 0 y i {\displaystyle \liminf _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}=\sup _{i_{0}\in I}\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}} 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
부분 순서 가 주어진 위상 공간 Y {\displaystyle Y} 위상 공간 X {\displaystyle X} 함수 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 그렇다면, 다음과 같은 집합족 을 생각할 수 있다.
B f , x 0 , U = f ( U ∖ { x 0 } ) = { f ( x ) : x ∈ U ∖ { x 0 } } {\displaystyle B_{f,x_{0},U}=f(U\setminus \{x_{0}\})=\left\{f(x)\colon x\in U\setminus \{x_{0}\}\right\}} B f , x 0 = { B f , U , x 0 : U ∈ N X , x 0 } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}=\left\{B_{f,U,x_{0}}\colon U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}\right\}} 여기서 N X , x 0 {\displaystyle {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 근방 필터 이다. 즉, x 0 {\displaystyle x_{0}} 근방 에서 f {\displaystyle f} 집합족 이다. B f , x 0 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}} Y {\displaystyle Y} 필터 를 이룬다.
f {\displaystyle f} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 상극한 lim sup x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \textstyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)} 하극한 lim inf x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \textstyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)} 필터 B f , x 0 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}
lim sup x → x 0 f ( x ) = lim sup B f , x 0 {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}} lim inf x → x 0 f ( x ) = lim inf B f , x 0 {\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\liminf {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}} 특히, 만약 Y {\displaystyle Y} 순서 위상 이 부여된 완비 전순서 집합 이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 Y = R ¯ = [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}
lim sup x → x 0 f ( x ) = inf U ∈ N X , x 0 sup f ( U ∖ { x 0 } ) {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\sup f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)} lim sup x → x 0 f ( x ) = sup U ∈ N X , x 0 inf f ( U ∖ { x 0 } ) {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\sup _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\inf f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)}
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
순서 위상 이 부여된 완비 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 하향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 순서를 보존하는 그물 x : I → X {\displaystyle x\colon I\to X} i , i ′ ∈ I {\displaystyle i,i'\in I} i ≲ i ′ {\displaystyle i\lesssim i'} x i ≤ x i ′ {\displaystyle x_{i}\leq x_{i'}} 그렇다면, x {\displaystyle x} { x i } i ∈ I {\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}} 하한 으로 수렴한다.
lim i → ⊥ x i = inf i ∈ I x i {\displaystyle \lim _{i\to \bot }x_{i}=\inf _{i\in I}x_{i}} 따라서, 만약 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 순서 위상 이 부여된 완비 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} X {\displaystyle X} 필터 기저 B {\displaystyle {\mathcal {B}}}
lim sup B = inf B ∈ B sup B {\displaystyle \limsup {\mathcal {B}}=\inf _{B\in {\mathcal {B}}}\sup B} lim inf B = sup B ∈ B inf B {\displaystyle \liminf {\mathcal {B}}=\sup _{B\in {\mathcal {B}}}\inf B} 특히, 확장된 실수 R ¯ = [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]} 완비 전순서 집합 이므로, 이 속의 그물 및 수열 은 항상 상극한과 하극한을 가진다.
극한과의 관계
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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
순서 위상 이 부여된 완비 전순서 집합 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 하향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 그물 x : I → X {\displaystyle x\colon I\to X}
점 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
lim i ∈ I = x 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{i\in I}=x_{0}} ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} x 0 = lim sup i ∈ I = lim inf i ∈ I {\displaystyle x_{0}=\limsup _{i\in I}=\liminf _{i\in I}} 상극한과 하극한의 관계
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임의의 순서체 ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 집합족 B ⊆ P ( K ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(K)}
− lim inf B = lim sup ( − B ) {\displaystyle -\liminf {\mathcal {B}}=\limsup(-{\mathcal {B}})} − B = { − B : B ∈ B } = { { − b : b ∈ B } : B ∈ B } {\displaystyle -{\mathcal {B}}=\{-B\colon B\in {\mathcal {B}}\}=\left\{\{-b\colon b\in B\}\colon B\in {\mathcal {B}}\right\}} 마찬가지로, 임의의 순서체 ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 그물 x : I → K {\displaystyle x\colon I\to K}
− lim inf i → ∞ x i = − lim sup n → ∞ ( − x i ) {\displaystyle -\liminf _{i\to \infty }x_{i}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{i})} inf i ∈ I x i ≤ lim inf i → ∞ x i ≤ lim sup i → ∞ ( x i ) ≤ sup i ∈ I x i {\displaystyle \inf _{i\in I}x_{i}\leq \liminf _{i\to \infty }x_{i}\leq \limsup _{i\to \infty }(x_{i})\leq \sup _{i\in I}x_{i}} 마찬가지로, 임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} f : X → K {\displaystyle f\colon X\to K} x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X}
− lim inf x → x 0 f ( x ) = lim sup x → x 0 ( − f ( x ) ) {\displaystyle -\liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup _{x\to x_{0}}(-f(x))} inf x ∈ X f ( x ) ≤ lim inf f ( x ) ≤ lim sup x → x 0 f ( x ) ≤ sup x ∈ X f ( x ) {\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)\leq \liminf f(x)\leq \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq \sup _{x\in X}f(x)} 순서체 ( K , ≤ ) {\displaystyle (K,\leq )} 그물
a , b : I → K {\displaystyle a,b\colon I\to K} 에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다.
lim sup i ∈ I ( a i + b i ) ≤ lim sup i ∈ I ( a i ) + lim sup i ∈ I ( b i ) {\displaystyle \limsup _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\leq \limsup _{i\in I}(a_{i})+\limsup _{i\in I}(b_{i})} lim inf i ∈ I ( a i + b i ) ≥ lim inf i ∈ I ( a i ) + lim inf i ∈ I ( b i ) {\displaystyle \liminf _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\geq \liminf _{i\in I}(a_{i})+\liminf _{i\in I}(b_{i})} 또한, 만약 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
수열 x n = sin n {\displaystyle x_{n}=\sin n} π 가 무리수 이므로 다음이 성립한다.
lim inf n → ∞ x n = − 1 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1} lim sup n → ∞ x n = + 1 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1} 이는 균등 분포 정리 에 의해 1 , 2 , 3 , … mod 2 π {\displaystyle 1,2,3,\ldots \,{\bmod {\,}}2\pi } 균등 분포 이기 때문이다.
쌍둥이 소수 추측 은 다음과 같은 내용을 담는다.
lim inf n → ∞ ( p n + 1 − p n ) = 2 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})=2} 여기서 p n {\displaystyle p_{n}} n {\displaystyle n} 소수 이다.
f {\displaystyle f} 위상수학자의 사인 곡선 )위상수학자의 사인 곡선 을 정의하는 함수
f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } f : x ↦ { sin ( 1 / x ) x ≠ 0 0 x = 0 {\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}} 를 생각하자. 그렇다면,
lim inf x → 0 f ( x ) = − 1 {\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1} lim sup x → 0 f ( x ) = 1 {\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1} 이다. (사실, f ( 0 ) {\displaystyle f(0)}
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccba441a397b82efbb3039ba3bb6a9507b88f86)
![{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420009097573b8beb39c08264e274a58de771825)
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