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일반위상수학에서, 렙셰츠 수(Лефшец數, 영어: Lefschetz number)는 콤팩트 공간 위의 연속 자기 함수호모토피류에 대응되는 유리수 값의 불변량이다. 렙셰츠 수가 0이 아닌 경우, 렙셰츠 고정점 정리(Лефшец固定點定理, 영어: Lefschetz fixed-point theorem)에 따르면 함수는 고정점을 갖는다.

목차

정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간  . 또한, 그 모든 베티 수와 코호몰로지 차원이 유한하다고 하자.
  • 연속 함수  

그렇다면,  에 의하여 특이 코호몰로지에 대한 군 준동형이 유도된다.

 

특히, 유리수 계수를 취하면, 다음과 같은 유리수 선형 변환을 얻는다.

 

 렙셰츠 수  는 다음과 같은 대각합들의 합인 유리수이다.

 

성질편집

렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 만약

  •  콤팩트 단체 복합체이며,
  •  이라면,

 고정점을 갖는다. 즉,   가 존재한다.

그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

렙셰츠-호프 정리편집

만약

  •   차원 콤팩트 다양체이며,
  •  가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 하자.

 의 고정점들의 집합을  라고 하자.  에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 근방  ,  을 찾을 수 있다.

  •    차원 열린 공위상 동형이다.
  •  이다.
  •  
  •  

로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수

 

를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 초구  와 동치이므로, 호모토피류  를 정의할 수 있다.  에 임의의 방향을 주었을 때,  브라우어르 차수  를 정의할 수 있다.

렙셰츠-호프 정리(영어: Lefschetz–Hopf theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

 

특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다.

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만약  항등 함수라면 그 렙셰츠 수는  오일러 지표이다.

 

렙셰츠 정리의 역에 대한 반례편집

  위의 항등 함수  를 생각하자. 이는 물론 연속 함수이며, 무한히 많은 고정점을 갖는다. 그러나 임의의  에 대하여  항등 함수호모토픽하지만 고정점을 갖지 않는다. 즉, 고정점을 갖는지 여부는 호모토피 불변량이 아니며, 이 호모토피류의 렙셰츠 수는 0이다.

역사편집

솔로몬 렙셰츠가 도입하였다.[1][2] 렙셰츠-호프 정리는 하인츠 호프가 증명하였다.

참고 문헌편집

  1. Lefschetz, Solomon (1926). “Intersections and transformations of complexes and manifolds”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 28 (1): 1–49. doi:10.2307/1989171. 
  2. Lefschetz, Solomon (1937). “On the fixed point formula”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 38 (4): 819–822. doi:10.2307/1968838. 

외부 링크편집