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린델뢰프 공간

일반위상수학에서, 린델뢰프 공간(Lindelöf空間, 영어: Lindelöf space)은 콤팩트 공간유한 부분 열린 덮개 조건을 가산 개의 부분 덮개 조건으로 약화시킨 조건을 만족시키는 위상 공간이다.

정의편집

위상 공간  열린 덮개  에 대하여,   의 부분 덮개의 최소 크기기수라고 하자.

 

(기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이 최솟값은 항상 존재한다.) 위상 공간  린델뢰프 수(Lindelöf數, 영어: Lindelöf number)  는 모든 열린 덮개  에 대한  상한이다.

 

린델뢰프 수가   이하인 위상 공간을 린델뢰프 공간(영어: Lindelöf space)이라고 한다. 즉, 린델뢰프 공간은 모든 열린 덮개가산 부분 덮개를 갖는 위상 공간이다.[1]:192

성질편집

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

콤팩트 공간제2 가산 공간 ⊊ 린델뢰프 공간 ⊊ 시그마-콤팩트 공간

이 밖에도, 린델뢰프성은 다른 위상 공간 성질과 다음과 같은 함의 관계를 갖는다.

린델뢰프성을 보존하는 연산편집

  • 린델뢰프 공간의 닫힌 집합은 린델뢰프 집합이다.[1]:194
  • 린델뢰프 공간의 연속적 은 린델뢰프 공간이다. 즉, 린델뢰프 공간  위상 공간   사이에 연속 함수  가 존재한다면,  치역  는 린델뢰프 공간이다.[1]:194
  • 콤팩트 공간과 린델뢰프 공간의 곱공간은 린델뢰프 공간이다.[1]:194

린델뢰프 공간에 대하여, 티호노프 정리가 성립하지 않는다. 즉, 린델뢰프 공간들의 곱공간이 항상 린델뢰프 공간이 되는 것은 아니다.

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조르겐프라이 직선의 스스로에 대한 곱공간조르겐프라이 평면이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 완전 정규 하우스도르프 린델뢰프 파라콤팩트 공간이지만, 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다. 따라서 린델뢰프 공간에 대하여 티호노프 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다.

역사편집

핀란드수학자 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)가 도입하였다.

참고 문헌편집

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Morita, Kiiti (1948). “Star-finite coverings and the star-finite property”. 《Mathematica Japonicae》 (영어) 1: 60-68. Zbl 0041.09704. 

외부 링크편집