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리 대수표현론에서, 베르마 가군(वर्मा加群, 영어: Verma module)은 주어진 무게에 대한 가장 “일반적인” 최고 무게 가군이다.

정의편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  •  
  •   위의 리 대수  
  •  부분 리 대수  
  •  표현   (즉,  왼쪽 가군)

그렇다면, 이에 대응되는 일반화 베르마 가군(一般化वर्मा加群, 영어: generalized Verma module)은 다음과 같다.

 

여기서

  •  리 대수보편 포락 대수이다.
  •  의 오른쪽  -작용은 (푸앵카레-버코프-비트 정리에 의하여  이므로) 보편 포락 대수의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

  •  표수 0대수적으로 닫힌 체이다.
  •    위의 반단순 리 대수이다.
  •  보렐 부분 대수이다.
  •   무게  를 이루는 1차원 표현이다.

이 경우를 베르마 가군이라고 한다.

등급편집

복소수체 위의 반단순 리 대수   및 그 포물형 부분 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,   위에 자연스러운 등급

 

이 주어지며,

 
 

이다. 즉,  는 등급  에 대한 복소수 등급 대수이며,  는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다.

임의의  의 표현  에 대하여,  -일반화 베르마 가군은 (푸앵카레-버코프-비트 정리를 사용하면) 다음과 같다.

 

성질편집

베르마 가군은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 반단순 리 대수  카르탕 부분 대수  의 무게  에 대응하는  -최고 무게 가군  에 대하여, 유일한 전사  -표현 준동형

 

가 존재한다.

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 의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저

 
 
 
 

로 표현될 수 있다. 여기서  카르탕 부분 대수로,  보렐 부분 대수로 잡자.

 무게는 하나의 복소수  로 결정된다. 그 기저를  로 적자. 즉,

 
 

이다.

그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 기저를 갖는다.

 

이 위의  의 작용은 구체적으로 다음과 같다.

 
 

만약   (음이 아닌 정수)일 경우,

 

이며, 따라서 베르마 가군  의 부분 공간

 

 부분 가군을 이룬다. 이 경우, 위 부분 가군에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는   차원 표현을 이룬다. 이 조건은  가 정수 우세 무게인 것에 해당한다.

역사편집

다야난드 베르마가 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Verma, Daya-Nand (1968). “Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 74 (1): 160-166. ISSN 0273-0979. MR 0218417. 

외부 링크편집