다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
체
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
위의 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 부분 리 대수
p
⊂
g
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {g}}}
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
의 표현
V
{\displaystyle V}
(즉,
U
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}
의 왼쪽 가군 )
그렇다면, 이에 대응되는 일반화 베르마 가군 (一般化वर्मा加群, 영어 : generalized Verma module )은 다음과 같다.
U
(
g
)
⊗
U
(
p
)
V
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V}
여기서
U
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {U} (-)}
는 리 대수 의 보편 포락 대수 이다.
U
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}
의 오른쪽
U
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}
-작용은 (푸앵카레-버코프-비트 정리 에 의하여
U
(
p
)
⊆
U
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})\subseteq \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}
이므로) 보편 포락 대수 의 오른쪽 곱셈 연산이다.
특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.
K
{\displaystyle K}
는 표수 0 의 대수적으로 닫힌 체 이다.
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
는
K
{\displaystyle K}
위의 반단순 리 대수 이다.
p
=
b
{\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}}
는 보렐 부분 대수 이다.
V
=
C
{\displaystyle V=\mathbb {C} }
는
b
{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
의 무게
λ
:
b
→
b
/
[
b
,
b
]
→
C
{\displaystyle \lambda \colon \mathbb {b} \to {\mathfrak {b}}/[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\to \mathbb {C} }
를 이루는 1차원 표현이다.
이 경우를 베르마 가군 이라고 한다.
복소수체 위의 반단순 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
및 그 포물형 부분 대수
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
위에 자연스러운 등급
g
=
⨁
i
=
−
k
k
g
i
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{i}}
이 주어지며,
p
=
⨁
i
=
0
k
g
i
{\displaystyle {\mathfrak {p}}=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathfrak {g}}_{i}}
h
=
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}}_{0}}
이다. 즉,
U
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}
는 등급
{
−
k
,
−
k
+
1
,
…
,
k
−
1
,
k
}
{\displaystyle \{-k,-k+1,\dotsc ,k-1,k\}}
에 대한 복소수 등급 대수 이며,
U
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}
는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다.
임의의
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
의 표현
V
{\displaystyle V}
에 대하여,
(
g
,
p
,
V
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},V)}
-일반화 베르마 가군은 (푸앵카레-버코프-비트 정리 를 사용하면) 다음과 같다.
U
(
g
)
⊗
U
(
p
)
V
=
⨁
i
=
−
k
−
1
U
(
g
i
)
⊗
K
V
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})\otimes _{\operatorname {U} ({\mathfrak {p}})}V=\bigoplus _{i=-k}^{-1}\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}_{i})\otimes _{K}V}
s
l
(
2
;
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}
의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저
s
l
(
2
;
C
)
=
Span
C
{
a
,
a
†
,
c
}
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{a,a^{\dagger },c\}}
[
a
†
,
a
]
=
c
{\displaystyle [a^{\dagger },a]=c}
[
a
†
,
c
]
=
−
2
a
†
{\displaystyle [a^{\dagger },c]=-2a^{\dagger }}
[
a
,
c
]
=
2
a
{\displaystyle [a,c]=2a}
로 표현될 수 있다. 여기서
h
=
Span
C
{
c
}
{\displaystyle {\mathfrak {h}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{c\}}
를 카르탕 부분 대수 로,
b
=
Span
C
{
c
,
a
†
}
{\displaystyle {\mathfrak {b}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{c,a^{\dagger }\}}
를 보렐 부분 대수 로 잡자.
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
의 무게 는 하나의 복소수
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
로 결정된다. 그 기저를
|
λ
⟩
{\displaystyle |\lambda \rangle }
로 적자. 즉,
c
|
λ
⟩
=
λ
|
λ
⟩
{\displaystyle c|\lambda \rangle =\lambda |\lambda \rangle }
a
|
λ
⟩
=
0
{\displaystyle a|\lambda \rangle =0}
이다.
그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 기저 를 갖는다.
W
λ
=
Span
C
{
|
λ
⟩
,
α
†
|
λ
⟩
,
(
α
†
)
2
|
λ
⟩
,
…
}
{\displaystyle W_{\lambda }=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\left\{|\lambda \rangle ,\alpha ^{\dagger }|\lambda \rangle ,(\alpha ^{\dagger })^{2}|\lambda \rangle ,\dotsc \right\}}
이 위의
s
l
(
2
;
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}
의 작용은 구체적으로 다음과 같다.
c
(
a
†
)
n
|
λ
⟩
=
(
λ
−
2
n
)
(
a
†
)
n
|
λ
⟩
{\displaystyle c(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle =(\lambda -2n)(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle }
a
(
a
†
)
n
|
λ
⟩
=
{
n
(
λ
−
n
+
1
)
(
a
†
)
n
−
1
|
λ
⟩
n
>
0
0
n
=
0
{\displaystyle a(a^{\dagger })^{n}|\lambda \rangle ={\begin{cases}n(\lambda -n+1)(a^{\dagger })^{n-1}|\lambda \rangle &n>0\\0&n=0\end{cases}}}
만약
λ
∈
N
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }
(음이 아닌 정수)일 경우,
a
(
a
†
)
λ
+
1
|
λ
⟩
=
0
{\displaystyle a(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle =0}
이며, 따라서 베르마 가군
W
λ
{\displaystyle W_{\lambda }}
의 부분 공간
Span
C
{
(
a
†
)
λ
+
1
|
λ
⟩
,
(
a
†
)
λ
+
2
|
λ
⟩
,
…
}
⊆
W
λ
{\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{(a^{\dagger })^{\lambda +1}|\lambda \rangle ,(a^{\dagger })^{\lambda +2}|\lambda \rangle ,\dotsc \}\subseteq W_{\lambda }}
는
W
λ
{\displaystyle W_{\lambda }}
의 부분 가군 을 이룬다. 이 경우, 위 부분 가군 에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는
s
l
(
2
;
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}
의
n
+
1
{\displaystyle n+1}
차원 표현을 이룬다. 이 조건은
λ
{\displaystyle \lambda }
가 정수 우세 무게 인 것에 해당한다.
↑ Verma, Daya-Nand (1968). “Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 74 (1): 160-166. ISSN 0273-0979 . MR 0218417 .