보고몰니 방정식

양자장론에서 보고몰니 방정식(Богомольный方程式, 영어: Bogomol’nyi equation)은 3차원 공간 위의 주접속과 딸림표현 스칼라장에 대한 1차 비선형 편미분 방정식이다. 그 해는 자기 홀극을 나타낸다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 3차원 유향 리만 다양체 $(M,g)$
  • 이를 통하여, 호지 쌍대 $*\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{3-\bullet }(M)$가 존재한다.
• 콤팩트 단순 리 군 $G$
• $G$-주다발 $\pi \colon P\twoheadrightarrow M$
  • 이로부터 $G$의 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발 $\operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)$을 정의할 수 있다.
• $\pi$의 주접속 $\nabla _{A}$
  • 그 곡률을 $F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))$라고 하자.
• $\operatorname {ad} (P)$의 매끄러운 단면 $\phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (P))$
  • 이에 대한 공변 미분 $\nabla _{A}\phi \in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))$을 정의할 수 있다.

그렇다면, 이 데이터에 대한 다음과 같은 1차 편미분 방정식을 보고몰니 방정식이라고 한다.

$F_{A}=*\nabla _{A}\phi$

보고몰니 방정식의 해는 물리학적으로 자기 홀극을 나타낸다.

자기 홀극

편의상, 게이지 군 $G=\operatorname {SU} (2)$ 및 $M=\mathbb {R} ^{3}$를 생각하자.

보고몰니 방정식의 해 가운데, 유한한 에너지

$\int _{M}(\langle F,F\rangle +\langle \mathrm {D} \phi ,\mathrm {D} \phi \rangle )\,\mathrm {d} ^{3}x<\infty$

를 가지는 것들의, 게이지 변환군

${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\operatorname {SU} (2))$

의 작용에 대한 동치류를 자기 홀극이라고 한다. 만약 $M=\mathbb {R} ^{3}$인 경우, 이는 다음 조건을 함의한다.^{:15, (2.4)}

$|\phi |=\phi _{0}-{\frac {k}{2r}}+{\mathcal {O}}(r^{-2})$

${\frac {\partial |\phi |}{\partial \theta }}={\mathcal {O}}(r^{-2})$

$|\mathrm {D} \phi |={\mathcal {O}}(r^{-2})$

여기서 $\theta$는 $\mathbb {R} ^{3}$의 구면 좌표에서 임의의 방향으로의 각 좌표이며, $r$는 원점으로부터의 거리이다. $\Phi _{0}$는 임의의 상수이며, $k\in \mathbb {Z}$는 자하(磁荷, 영어: magnetic charge)이다. 주어진 자하의 보고몰니 방정식의 모듈라이 공간을 ${\mathcal {N}}_{k}$라고 하자.

이 대신, $\mathbb {R} ^{3}$의 임의의 한 방향을 골라, 이 방향의 무한대에서 게이지 변환이 자명하다는 조건을 가할 수 있다. 이러한 게이지 환의 군을

${\mathcal {G}}_{0}\leq {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\operatorname {SU} (2))$

라고 하자. 그렇다면 유한 에너지 보고몰니 방정식 해의 ${\mathcal {G}}_{0}$ 동치류를 틀 갖춘 자기 홀극(영어: framed monopole)이라고 하자.^:15–16. 자하가 $k$인 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간을 ${\mathcal {M}}_{k}$라고 하자. 그렇자면 정의에 따라 이는 U(1) 주다발

$\operatorname {U} (1)\hookrightarrow {\mathcal {M}}_{k}\twoheadrightarrow {\mathcal {N}}_{k}$

을 이룬다.

성질

순간자와의 관계

보고몰니 방정식은 4차원 양-밀스 순간자가 따르는 자기 쌍대성 방정식

$F^{(4)}=\pm *F^{(4)}$

을 차원 축소하여 얻을 수 있다. 이 경우, 4차원의 게이지 퍼텐셜 $A$는 3차원의 게이지 퍼텐셜과 스칼라장으로 분해된다. 즉, 4차원 주접속의 곡률은

$F^{(4)}={\begin{pmatrix}0&\nabla _{A}\Phi \\-\nabla _{A}\Phi &F\end{pmatrix}}$

의 꼴이다. 따라서, 이 경우 자기 (반)쌍대 방정식은

$F=\pm *\nabla _{A}\Phi$

가 된다. 물론, 부호 ±는 $\Phi$를 재정의하여 없앨 수 있다.

모듈라이 공간

$\mathbb {R} ^{3}$ 위의 SU(2) 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간 ${\mathcal {M}}_{k}$는 $4k$차원 리만 다양체이며, 초켈러 다양체이다. (그 위의 리만 계량은 해의 L² 계량으로 주어진다.) 즉, ${\mathcal {N}}_{k}$는 $4k-1$차원 리만 다양체이다. 또한, 이 위에는 아벨 리 군 $\mathbb {R} ^{3}\times \operatorname {U} (1)$이 작용하며, 이에 대한 몫공간

${\frac {{\mathcal {M}}_{k}}{\mathbb {R} ^{3}\times \operatorname {U} (1)}}={\tilde {\mathcal {M}}}_{k}$

을 정의할 수 있다. ${\tilde {\mathcal {M}}}_{k}$는 $4(k-1)$차원 초켈러 다양체이다.

특히, ${\mathcal {M}}_{1}=\mathbb {R} ^{3}\times \operatorname {U} (1)$이다. 즉, 하나의 자기 홀극은 자명한 모듈라이 공간을 갖는다. 이러한 $k=1$ 해는 프라사드-소머필드 해(영어: Prasad–Sommerfield solution)라고 하며, 다음과 같다.

$A=\left({\frac {1}{\sinh r}}-{\frac {1}{r}}\right)\epsilon _{ijk}{\frac {x^{j}}{r}}\sigma ^{k}\,\mathrm {d} x^{i}$

$\phi =\left({\frac {1}{\tanh r}}-{\frac {1}{r}}\right){\frac {x^{i}}{r}}\sigma _{i}$

여기서 $\sigma _{i}$는 리 대수 ${\mathfrak {su}}(2)$의 기저를 이루는 파울리 행렬이다.

$k=2$일 때, ${\tilde {\mathcal {M}}}_{2}$는 아티야-히친 다양체이다. 이는 점근 국소 평탄 공간이며, ADE 분류에서 D₀형에 해당한다. (반면, A₋₁형은 $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}$이며, A₀형은 토브-너트 공간이며, A_n은 $(n-1)$중 토브-너트 공간이다. E형은 존재하지 않는다.) 아티야-히친 다양체는 SU(2) 등거리군을 가지며, 이는 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 아티야-히친 다양체의 2겹 피복 공간은 D₁형 점근 국소 평탄 공간이다.

남 방정식

 이 부분의 본문은 남 방정식입니다.

보고몰니 방정식의 해는 남 방정식으로 구성된다.^{:Chapter 16}

역사

예브게니 보리소비치 보고몰니(러시아어: Евге́ний Бори́сович Богомо́льный)가 도입하였다.

참고 문헌

• Murray, Michael K.; Singer, Michael A. (2003). “A note on monopole moduli spaces” (영어). arXiv:math-ph/0302020. 

외부 링크

• “Magnetic monopole”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.