게이지 변환군

이론물리학미분기하학에서, 게이지 변환군(gauge變換群, 영어: group of gauge transformations)은 어떤 주다발자기 동형으로 구성된 위상군이다.[1] 그 원소를 게이지 변환(gauge變換, 영어: gauge transformation)이라고 한다. 양-밀스 이론이나 천-사이먼스 이론과 같은 게이지 이론은 이러한 군을 대칭으로 갖는다.

정의편집

함수로서의 정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면,  게이지 변환 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수

 

가운데, 등변 함수 조건

 

을 만족시키는 것이다.[2]:539, (2.1) 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

 

두 게이지 변환  는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.

 

그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 게이지 변환군이라고 한다.

연관 다발을 통한 정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 연관 다발  을 취할 수 있다. 여기서  의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레  이다. 이 올다발매끄러운 단면

 

 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.[2]:539, §2

무한소 게이지 변환편집

게이지 변환군  에 대응하는 실수 리 대수딸림표현 연관 벡터 다발

 

매끄러운 단면

 

실수 벡터 공간이다. 이 경우,  리 괄호 딸림표현 작용에 공변이므로,

 

이는   위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수를 이룬다. 그 원소는 무한소 게이지 변환(영어: infinitesimal gauge transformation)으로 해석될 수 있다.

큰 게이지 변환편집

게이지 변환군  위상군이며, 그 연결 성분의 군

 

을 정의할 수 있다. 이를 큰 게이지 변환(영어: large gauge transformation)의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분  의 원소를 작은 게이지 변환(영어: small gauge transformation)이라고 한다.

성질편집

연관 벡터 다발의 단면 위의 작용편집

임의의   위의  의 유한 차원 실수 표현  이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발

 

매끄러운 단면의 공간  를 생각할 수 있다. 게이지 변환군  은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용을 갖는다.

 

여기서

 

연관 벡터 다발의 정의에 등장하는 전사 함수이다.

주접속과 주곡률 위의 작용편집

매끄러운 다양체   위의  -주다발   위의 주접속  이 주어졌다고 하자.  의 게이지 변환  는 주다발의 자기 동형

 
 

를 정의하며, 따라서 주접속 위에도

 

와 같이 작용한다.

게이지 변환군은 주접속  의 곡률   위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.

 

반면, 예를 들어, 킬링 형식  준 리만 계량  에 대하여, 양-밀스 라그랑지언  는 게이지 불변이다.

큰 게이지 변환에 대한 레벨의 양자화편집

매끄러운 다양체   위의 주다발  를 생각하자.

어떤 작용  가 게이지 변환  에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.

 
 ,   ( )
 
 
 

여기서  당김은 켤레 변환 불변성에 대하여  의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.

이론이 양자장론에 따라 잘 정의되려면 (즉,  가 게이지 불변이려면), 항상

 

이어야 한다.

만약  가 작은 게이지 변환이라면,  완전 미분 형식이 된다. 즉,  라고 하면,

 

가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약  가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서

 

의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화의 한 경우이다. (여기서  는 실수 계수 기본류이다.)

특히, 만약  일 경우, 이는

 

를 유도한다. 이 경우, 이 값  레벨(영어: level)이라고 한다.

예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론이 이와 같은 경우에 해당한다.[3]

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자명한 주다발편집

 가 자명한 주다발이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로  가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수  가 된다.

함수를 통한 정의:

만약  가 자명한 주다발이라면, 매끄러운 함수  에 대응하는 게이지 변환은

 

이다.

연관 다발을 통한 정의:

만약  가 자명한 주다발이라면,  이다. 구체적으로,  의 올을

 

로 정의하면, 모든 동치류

 

동치 관계 아래  의 꼴의 대표원을 갖는다.

만약  초구이며,  가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군  집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.

특히, 만약  이며,  콤팩트 단순 리 군일 경우,   (무한 순환군)이 된다.

아벨 주다발편집

만약  아벨 리 군이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발  를 생각하자. 이 경우,   위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로

 

가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수  가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식  가 된다.

이 경우, 주접속의 곡률은 사실   위의 리 대수 값 미분 형식  가 되며, 이는 게이지 불변이다.

참고 문헌편집

  1. Wockel, Christoph (2006). 《Infinite-dimensional Lie theory for gauge groups》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Karl-Hermann Neeb). Technische Universität Darmstadt. 
  2. Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1983년 3월 17일). “The Yang–Mills equations over Riemann surfaces”. 《Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences》 (영어) 308 (1505): 523–615. doi:10.1098/rsta.1983.0017. JSTOR 37156. 
  3. Deser, Stanley; Jackiw, Roman; Templeton, Stephen (1982년 5월). “Topologically massive gauge theories”. 《Annals of Physics》 (영어) 140 (2): 372–411. doi:10.1016/0003-4916(82)90164-6. 

외부 링크편집