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네 개의 임계점을 가지는 5차함수의 그래프

5차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

와 같다. 여기에서 는 각각 계수라고 한다. 또한 는 상수항이라고 부른다.

그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 5차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.

5차방정식의 근편집

갈루아아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다.[1] 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다.

실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.

근과 계수와의 관계편집

오차방정식  의 다섯 근을  라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.

 
 

 

 

또한,

 
 
 
 
  의 관계가 있다.

특히 각 항( )에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합경우의 수로 따져 볼수있다.

5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을  라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 ,

 

2개씩의 조합의 경우의 수는 ,

 

3개씩의 조합의 경우의 수는 ,

 

4개씩의 조합의 경우의 수는 ,

  이다.

5개씩의 조합의 경우의 수는 ,

  이다.

차고차항 압축 정리(취른하우스 변형)편집

 

다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항( 차항)의  의 계수,  로 나눈 다음  의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라 칭한다.

이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다. 먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다.

 

그리고 y로 치환한다.

 

그러면, 방정식은

 

의 꼴로 정리된다. 여기서  는 다음과 같다.

       

일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들편집

상반방정식 5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, 조립제법이나 다항식의 나눗셈 정리 의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다.

예) :  이 식은 먼저 하나의 해는 무조건  임을 알아야 한다.  이 나올 수 있는 인수는  이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은

 

가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.

이항방정식

 의 꼴은 이항방정식으로  와 근의 계수  를 찾아 5개의 근을 구할수있다.

5차방정식의 판별식편집

5차 방정식의 판별식은 59개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬종결식을 사용한 소행렬식라플라스 전개로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

 
 으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬  
 
 
 
 
 

같이 보기편집

각주편집

  1. 출처는 영문 위키피디아