스피너 라플라스 연산자

미분기하학에서, 스피너 라플라스 연산자(영어: spinor Laplacian)는 스핀 다양체의 스피너 다발의 단면에 대하여 자연스럽게 정의되는 2차 미분 연산자이다. 이는 라플라스-벨트라미 연산자와 스칼라 곡률의 ¼의 합과 같다.

정의

콤팩트 스핀 다양체 $M$의 스피너 다발 $\mathrm {S} M$이 주어졌으며, 이에 대한 디랙 연산자

$D\colon \Gamma (\mathrm {S} M)\to \Gamma (\mathrm {S} M)$

$D\colon \psi ^{A}\mapsto \gamma _{B}^{A\mu }\partial _{\mu }\psi ^{B}$

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 그 제곱

$\Delta =D\circ D\colon \Gamma (\mathrm {S} M)\to \Gamma (\mathrm {S} M)$

을 정의할 수 있다. 이를 스피너 라플라스 연산자라고 한다.

만약 $M$이 짝수 차원이라면, (디랙) 스피너 다발은 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

$\mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M$

$D^{+}\colon \mathrm {S} ^{+}M\to \mathrm {S} ^{-}M$

$D^{-}\colon \mathrm {S} ^{-}M\to \mathrm {S} ^{+}M$

$(D^{\pm })^{\dagger }=D^{\mp }$

그렇다면,

$\Delta \upharpoonright \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)=D^{-}\circ D^{+}$

$\Delta \upharpoonright \Gamma (\mathrm {S} ^{-}M)=D^{+}\circ D^{-}$

이다.

보다 일반적으로, 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 클리퍼드 다발 $\operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)$의 클리퍼드 가군 다발 $E$ 및 $E$의 클리퍼드 가군 다발 접속 $\nabla$가 주어졌을 때, 스피너 라플라스 연산자

$D=\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\colon \Gamma (E)\to \Gamma (E)$

를 사용하여 스피너 라플라스 연산자

$\Delta =D\circ D$

를 정의할 수 있다. 여기서

$\gamma ^{\mu }\colon \mathrm {T} M\to \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)$

는 클리퍼드 다발을 정의하는 표준적인 포함 사상(감마 행렬)이다.

성질

스핀 다양체 위의 스피너 다발은 리만 계량으로서 표준적인 벡터 다발 접속을 갖는다. 즉, 1차 미분 연산자

$\nabla \colon \Gamma (\mathrm {S} M)\to \Gamma (\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{M}\mathrm {S} M)$

가 존재한다. 이 경우, 스피너 위에 작용하는 라플라스-벨트라미 연산자

$\Delta _{\text{B}}=-g^{\mu \nu }\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }=\nabla ^{\dagger }\nabla$

를 정의할 수 있다. (여기서 $\nabla ^{\dagger }$는 복소수 힐베르트 공간 $\operatorname {L} ^{2}(\mathrm {S} M)$에서 $\nabla \colon \operatorname {L} ^{2}(\mathrm {S} M)\to \operatorname {L} ^{2}(\mathrm {S} M)$의 에르미트 수반이다.)

이 경우 다음이 성립한다.

$\Delta =\Delta _{\text{B}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {Sc} [g]$

여기서

• $\operatorname {Sc} [g]\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$는 $M$의 스칼라 곡률이다.

보다 일반적으로, 4차원 스핀C 다양체 $(M,g,L)$이 주어졌다고 하자. 즉, 그 스피너 다발 $\mathrm {S} M$에 대하여

$\det \mathrm {S} M=L$

이라고 하자. 그렇다면 디랙 연산자

$D_{A}\colon \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)\to \Gamma (\mathrm {S} ^{-}M)$

$D_{A}^{\dagger }\colon \Gamma (\mathrm {S} ^{-}M)\to \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)$

가 존재하며, 이로부터 스피너 라플라스 연산자

$D_{A}^{\dagger }D_{A}\colon \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)\to \Gamma (\mathrm {S} ^{+}M)$

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\Delta =\Delta _{\text{B}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {Sc} [g]+{\frac {1}{2}}F^{+}\cdot$

여기서

• $F^{+}=(F+\star F)/2$는 U(1) 주접속 $A$의 주곡률의 자기 쌍대 성분이다. 이는 클리퍼드 다발의 단면 (올다발) $F_{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }/2$에 대응된다.
• $F^{+}\cdot$은 클리퍼드 다발 단면의, 클리퍼드 가군 다발 위의 작용이다.

이를 리흐네로비치 공식(Lichnerowicz公式, 영어: Lichnerowicz formula)이라고 한다.

역사

리흐네로비치 공식은 폴란드계 프랑스 수학자 앙드레 리흐네로비치(프랑스어: André Lichnerowicz, 1915 ~ 1998)가 1963년에 증명하였다.

참고 문헌

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie‐Louise (1989). 《Spin geometry》. Princeton Mathematical Series (영어) 38. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.