일반위상수학 에서 완비 균등 공간 (完備均等空間, 영어 : complete uniform space )은 그 속에 "있어야 하지만 없는 점"이 없는 균등 공간 이다. 즉, 코시 그물 (영어 : Cauchy net )이라는 특별한 종류의 그물 은 "수렴하여야 하는" 그물이며, 모든 코시 그물이 실제로 수렴한다면 (즉, 수렴하는 점이 존재한다면) 그 균등 공간 을 완비 균등 공간이라고 한다. 이는 완비 거리 공간 의 개념의 일반화이다.
거리 공간 을 다룰 때는 코시 열 의 개념을 사용하지만, 임의의 균등 공간 을 다룰 때는 점렬 대신 필터 또는 그물 을 사용해야 한다.
완비 균등 공간 은 모든 코시 필터가 수렴 필터인 균등 공간이다. 이는 모든 코시 그물이 수렴하는 것과 동치이다. 이는 완비 거리 공간 의 개념의 일반화이다. 즉, 임의의 거리 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여,
X
{\displaystyle X}
가 완비 균등 공간인 것은
X
{\displaystyle X}
가 완비 거리 공간 인 것과 동치 이다.
균등 공간
(
X
,
(
≈
E
)
E
∈
E
)
{\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})}
위의 코시 필터 (영어 : Cauchy filter )
F
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
는 다음 조건을 만족시키는
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
위의 필터 이다.
임의의 측근
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
에 대하여,
F
×
F
⊆
E
{\displaystyle F\times F\subseteq E}
가 되는
F
∈
F
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}
가 존재한다.
즉, 코시 필터는 “임의로 작은” 집합을 포함하는 필터이다.
(
X
,
(
≈
E
)
E
∈
E
)
{\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})}
위의 코시 필터들의 집합은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합 을 이룬다. 임의의 코시 필터
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
에 대하여,
F
min
⊆
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\min }\subseteq {\mathcal {F}}}
인 극소 코시 필터
F
min
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\min }}
가 항상 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
F
min
=
{
E
[
F
,
−
]
:
E
∈
E
,
F
∈
F
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\min }=\{E[F,-]\colon E\in {\mathcal {E}},\;F\in {\mathcal {F}}\}}
E
[
F
,
−
]
=
{
y
∈
X
:
∃
x
∈
F
:
x
≈
E
y
}
{\displaystyle E[F,-]=\{y\in X\colon \exists x\in F\colon x\approx _{E}y\}}
특히, 모든 점의 (균등 위상에 대한) 근방 필터 는 극소 코시 필터를 이룬다.
필터 대신 그물 의 언어를 사용할 수도 있다.
상향 원순서 집합
(
I
,
≲
)
{\displaystyle (I,\lesssim )}
를 정의역 으로, 균등 공간
(
X
,
(
≈
E
)
E
∈
E
)
{\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})}
를 공역 으로 하는 그물
(
x
i
)
i
∈
I
⊆
X
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq X}
이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 측근
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
가 존재한다면,
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
를 코시 그물 (영어 : Cauchy net )이라고 한다.
임의의
j
,
k
≳
i
{\displaystyle j,k\gtrsim i}
에 대하여,
x
j
≈
E
x
k
{\displaystyle x_{j}\approx _{E}x_{k}}
주어진 코시 그물에 대하여, 이로부터 유도되는 필터는 항상 코시 필터이며, 반대로 코시 필터에 의하여 정의되는 그물은 코시 그물이다.
코시 그물은 코시 열 의 개념의 일반화이다. 즉, 거리 공간 속의 점렬 에 대하여, 코시 열 인 것은 코시 그물인 것과 동치 이다.
하우스도르프 완비 균등 공간들의 범주
HausCompUnif
{\displaystyle \operatorname {HausCompUnif} }
는 모든 균등 공간들의 범주
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
의 반사 부분 범주 를 이룬다. 즉, 포함 함자
HausCompUnif
↪
Unif
{\displaystyle \operatorname {HausCompUnif} \hookrightarrow \operatorname {Unif} }
는 왼쪽 수반 함자
¯
:
Unif
→
HausCompUnif
{\displaystyle {\bar {}}\colon \operatorname {Unif} \to \operatorname {HausCompUnif} }
를 갖는다. 이를 균등 공간의 하우스도르프 완비화 (영어 : Hausdorff completion )라고 한다.
이는 구체적으로 다음과 같다. 임의의 균등 공간
(
X
,
(
≈
E
)
E
∈
E
)
{\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})}
의 극소 코시 필터들의 집합 을
min
Cauchy
(
X
,
E
)
{\displaystyle \min \operatorname {Cauchy} (X,{\mathcal {E}})}
라고 표기하자.
(
X
,
(
≈
E
)
E
∈
E
)
{\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})}
의 하우스도르프 완비화 는 집합 으로서
X
¯
=
min
Cauchy
(
X
,
E
)
{\displaystyle {\bar {X}}=\min \operatorname {Cauchy} (X,{\mathcal {E}})}
이며, 그 위의 균등 공간 구조는 다음과 같은 기본계
B
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {B}}}}
에 의하여 정의된다.
B
¯
=
{
C
(
E
)
:
E
∈
E
,
E
=
E
op
}
{\displaystyle {\bar {\mathcal {B}}}=\left\{{\mathfrak {C}}(E)\colon E\in {\mathcal {E}},\;E=E^{\operatorname {op} }\right\}}
F
≈
C
(
E
)
G
⟺
∃
A
∈
Small
(
E
)
:
A
∈
F
∩
G
(
F
,
G
∈
X
¯
,
E
∈
E
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\approx _{{\mathfrak {C}}(E)}{\mathcal {G}}\iff \exists A\in \operatorname {Small} (E)\colon A\in {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}\qquad ({\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in {\bar {X}},\;E\in {\mathcal {E}})}
Small
(
E
)
=
{
A
⊆
X
:
a
≈
E
b
∀
a
,
b
∈
A
}
{\displaystyle \operatorname {Small} (E)=\{A\subseteq X\colon a\approx _{E}b\;\forall a,b\in A\}}
즉, 대칭 측근
E
{\displaystyle E}
에 대하여,
C
(
E
)
{\displaystyle {\mathfrak {C}}(E)}
는 적어도 하나 이상의
E
{\displaystyle E}
-작은 집합을 공유하는 극소 코시 필터 순서쌍 들의 집합이다.
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
로 가는 자연스러운 함수
i
:
X
→
X
¯
{\displaystyle i\colon X\to {\bar {X}}}
i
:
x
↦
N
x
{\displaystyle i\colon x\mapsto {\mathcal {N}}_{x}}
가 존재한다. 여기서
N
x
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}
는
x
{\displaystyle x}
의 근방 필터 이다 (이는 항상
X
{\displaystyle X}
위의 극소 코시 필터를 이룬다).
i
{\displaystyle i}
는 균등 연속 함수 이며,
i
(
X
)
⊆
X
¯
{\displaystyle i(X)\subseteq {\bar {X}}}
는 조밀 집합 이다. 또한,
i
~
:
X
→
i
(
X
)
{\displaystyle {\tilde {i}}\colon X\to i(X)}
는 열린 함수 이자 닫힌 함수 이자 고유 함수 다.[1] :197, §2.3.8, Remark 사실,
i
(
X
)
{\displaystyle i(X)}
는
X
{\displaystyle X}
의 하우스도르프화를 정의한다. 특히, 만약
X
{\displaystyle X}
가 하우스도르프 균등 공간이라면
i
{\displaystyle i}
는 균등 공간 의 매장 이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 만약
X
{\displaystyle X}
위에 그 위상과 호환되는 완비 균등 공간 구조를 부여할 수 있다면,
X
{\displaystyle X}
를 완비 균등화 가능 공간 (完備均等化可能空間, 영어 : completely uniformizable space )이라고 한다.
모든 정칙 파라콤팩트 공간 은 완비 균등화 가능 공간이다.[2] :208, Problem 6.L(d)
임의의 위상군 위에는 2개의 표준적인 균등 공간 구조가 존재하며, 이를 오른쪽 균등 공간 구조
E
right
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\operatorname {right} }}
와 왼쪽 균등 공간 구조
E
left
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\operatorname {left} }}
라고 한다. 또한, 오른쪽·왼쪽 균등 공간 구조보다 섬세한 가장 엉성한 균등 공간 구조
E
right
∨
E
left
{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\operatorname {right} }\vee {\mathcal {E}}_{\operatorname {left} }}
를 생각할 수 있다. 이를 양쪽(영어 : two-sided ) 균등 공간 구조라고 한다. 세 균등 공간 구조는 모두 위상군의 위상을 유도한다. 아벨 위상군 또는 콤팩트 위상군 의 경우, 세 가지 균등 공간 구조가 일치한다. 이러한 위상군을 균형군 이라고 한다.
오른쪽·왼쪽 완비 위상군은 자명하게 양쪽 완비 위상군이다. 오른쪽 완비성과 왼쪽 완비성은 서로 동치 이다. 즉, 위상군
G
{\displaystyle G}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[1] :245, Proposition 4
(
G
,
E
right
)
{\displaystyle (G,{\mathcal {E}}_{\operatorname {right} })}
는 완비 균등 공간이다.
(
G
,
E
left
)
{\displaystyle (G,{\mathcal {E}}_{\operatorname {left} })}
는 완비 균등 공간이다.
모든 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군 은 왼쪽·오른쪽·양쪽 완비 균등 공간이다.[1] :245, Corollary 1
임의의 위상군
G
{\displaystyle G}
의 양쪽 완비화 위에는
G
{\displaystyle G}
를 확장하는 유일한 위상군 구조가 존재한다. 반면 오른쪽 완비화 또는 왼쪽 완비화는 위상군을 이룰 필요가 없다. 만약
G
{\displaystyle G}
의 오른쪽 또는 왼쪽 완비화가 위상군을 이룬다면, 이는 항상 양쪽 완비화와 일치한다. 균형군 의 경우, 오른쪽·왼쪽·양쪽 완비화가 일치하며, 따라서 완비화는 위상군을 이룬다.