반완전환

(왼쪽 완전환에서 넘어옴)

환론에서 반완전환(半完全環, 영어: semiperfect ring)은 모든 유한 생성 가군사영 덮개를 갖는 이다.

정의

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 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반완전환(영어: semiperfect ring)이라고 한다.

  •  가 되는, 국소 멱등원들의 직교 유한 집합  가 존재한다.[1]:347, Theorem 23.6
  •  반단순환이며,  의 모든 멱등원  에 대하여  가 되는  -멱등원  가 존재한다.[1]:346, Definition 23.1
  • 모든  -유한 생성 왼쪽 가군사영 덮개를 갖는다.
  • 모든  -유한 생성 오른쪽 가군사영 덮개를 갖는다.

(여기서 모든 반단순환왼쪽 아르틴 환·오른쪽 아르틴 환이며,  제이컵슨 근기를 뜻한다.)

 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 완전환(-完全環, 영어: left perfect ring)이라고 한다.

마찬가지로 오른쪽 완전환(-完全環, 영어: right perfect ring)의 개념을 정의할 수 있다. 반완전환과 달리, 완전환의 개념은 왼쪽·오른쪽이 서로 다르다.

성질

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반완전환·왼쪽 완전환·오른쪽 완전환의 개념은 (가군만을 통해 정의되므로) 모리타 동치에 대하여 불변이다.

함의 관계

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임의의 (곱셈 항등원을 갖는) 에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.[1]:335

오른쪽 아르틴 환 오른쪽 뇌터 환 오른쪽 완전환
반으뜸환 국소환 반완전환 반국소환
왼쪽 아르틴 환 왼쪽 뇌터 환 왼쪽 완전환

여기서 반으뜸환(半-環, 영어: semiprimary ring)은 그 제이컵슨 근기  멱영 아이디얼이며, 제이컵슨 근기에 대한 몫환  반단순환  를 뜻한다.

사영 가군

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 가 반완전환이며,  가 서로 직교인 국소 멱등원들의 집합이라고 하자.

반완전환   위의 모든 유한 생성 사영 왼쪽 가군  은 다음과 같은 꼴의 유한 직합으로 분해된다.

 

여기서 각  자연수이다.

 가 추가로 왼쪽 완전환이라고 하자.   위의 모든 사영 왼쪽 가군  은 다음과 같은 꼴 직합으로 분해된다.

 

여기서 각  는 (무한 또는 유한) 기수이다.

주 분해 불가능 가군

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 가 반완전환이라고 하자. 그렇다면, 원시 멱등원  에 대하여,  와 같은 꼴의 왼쪽 가군주 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: principal indecomposable left module)이라고 한다. 이들은 분해 불가능 가군이며 사영 가군이다.

그렇다면,   위의 단순 왼쪽 가군들의 동형류 집합은   위의 주 분해 불가능 왼쪽 가군들의 동형류 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 원시 멱등원  가 주어졌을 때, 주 분해 불가능 왼쪽 가군  에 대응하는 단순 왼쪽 가군은

 

이다.

나카야마 순열

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반완전환  가 유한 개의 원시 멱등원  을 갖는다고 하자. 만약

 
 

라면,   나카야마 순열([中山]順列, 영어: Nakayama permutation)이라고 한다. 이는 나카야마 다다시가 도입하였다.

분류

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반완전환  는 다음과 같은 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.[1]:361, Theorem 25.4

 

여기서 각  중심에 속하는 원시 멱등원들이다. 각  는 항등원  를 갖는 반완전환이다.

반완전환  기초 멱등원(영어: basic idempotent)  는 다음과 같은 꼴의 멱등원이다.

 

여기서

  •  는 원시 멱등원이며,  이다.
  •  는 각각 서로 동형이 아닌 주 분해 불가능 가군들에 대응한다.

기초 멱등원  가 주어졌을 때,  는 반완전환을 이루며, 이는  모리타 동치류의 표준적인 대표원을 이룬다.[1]:364

역사

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1956년에 사무엘 에일렌베르크는 모든 대상이 사영 덮개를 갖는 아벨 범주를 "완전 범주"(영어: perfect category)라고 명명하였다.[2] 이후 에일렌베르그의 용어를 차용하여, 하이먼 배스가 1960년에 완전환 및 반완전환의 개념을 도입하였다.[3]

참고 문헌

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  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  2. Eilenberg, Samuel (1956년 9월). “Homological dimension and syzygies”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 64 (2): 328–336. doi:10.2307/1969977. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969977. 
  3. Bass, Hyman (1960). “Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 95 (3): 466–488. doi:10.1090/S0002-9947-1960-0157984-8. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993568. MR 0157984. 

외부 링크

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