다음이 주어졌다고 하자.
콤팩트 리 군
G
{\displaystyle G}
유한군 은 이산 공간 으로서 콤팩트 리 군 을 이룬다)
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
실수체 또는 복소수체 )그렇다면,
G
{\displaystyle G}
매끄러운 유한 차원 표현
G
→
GL
(
V
;
K
)
{\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {K} )}
들의 동치류들의 집합을 생각하자. (이는 항상 가산 집합 이다.) 이는 텐서곱과 직합 을 통하여 가환 반환 을 이룬다. 그 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 그 곱셈 항등원은 상수 함수 인 자명한 1차원 표현
G
→
GL
(
1
;
K
)
{\displaystyle G\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {K} )}
g
↦
1
{\displaystyle g\mapsto 1}
이다.
따라서, 이 반환의 그로텐디크 환
R
(
G
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {R} (G;\mathbb {K} )}
을 취할 수 있다. 이를
G
{\displaystyle G}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
표현환 이라고 한다.
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
가환환 을
RO
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RO} (G)}
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
가환환 을
RU
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (G)}
사원수의 경우
편집
위와 마찬가지로,
K
=
H
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {H} }
사원수 의 나눗셈환 )인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 표현의 직합 은 잘 정의되지만, 사원수 의 비가환성으로 인하여, 표현의 텐서곱을 일반적으로 취할 수 없다. 따라서 이 경우 얻어지는 아벨 군
RSp
(
G
)
=
R
(
G
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {RSp} (G)=\operatorname {R} (G;\mathbb {H} )}
가환환 의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로,
RSp
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RSp} (G)}
가환환
RO
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RO} (G)}
가군 을 이룬다.
표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 환 준동형
dim
C
:
RU
(
G
)
→
Z
{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\colon \operatorname {RU} (G)\to \mathbb {Z} }
dim
R
:
RO
(
G
)
→
Z
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \mathbb {Z} }
이 존재한다.
RU
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (G)}
자기 동형
(
−
)
∗
:
RU
(
G
)
→
RU
(
G
)
{\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RU} (G)}
이 존재한다. 이는 등급을 보존하는 전단사 환 준동형 이다. 마찬가지로,
RSp
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RSp} (G)}
(
−
)
∗
:
RSp
(
G
)
→
RSp
(
G
)
{\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {RSp} (G)\to \operatorname {RSp} (G)}
가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 군 준동형 이다.
또한, 복소화에 따라 환 준동형
(
−
)
C
:
RO
(
G
)
→
RU
(
G
)
{\displaystyle (-)^{\mathbb {C} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RU} (G)}
(
−
)
H
:
RO
(
G
)
→
RSp
(
G
)
{\displaystyle (-)^{\mathbb {H} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RSp} (G)}
이 존재한다. 반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라서 덧셈군의 군 준동형
RU
(
G
)
→
RO
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RO} (G)}
RSp
(
G
)
→
RO
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RSp} (G)\to \operatorname {RO} (G)}
이 존재한다.
RU
(
G
)
→
RO
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RO} (G)}
유사환 의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로, 환 준동형 을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계
C
↪
H
{\displaystyle \mathbb {C} \hookrightarrow \mathbb {H} }
S
2
=
{
x
∈
H
:
x
¯
=
−
x
,
‖
x
‖
=
1
}
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{x\in \mathbb {H} \colon {\bar {x}}=-x,\;\|x\|=1\}}
RSp
(
G
)
×
S
2
→
RU
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RSp} (G)\times \mathbb {S} ^{2}\to \operatorname {RU} (G)}
이 존재한다.
외부 자기 동형군
Out
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Out} (G)}
RU
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (G)}
RO
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RO} (G)}
자기 동형 으로 작용한다.
H
{\displaystyle H}
리 군
G
{\displaystyle G}
닫힌집합 부분군 일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 환 준동형 이 유도된다.
res
H
G
:
RU
(
G
)
→
RU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {res} _{H}^{G}\colon \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RU} (H)}
res
H
G
:
RO
(
G
)
→
RO
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {res} _{H}^{G}\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RO} (H)}
이에 따라,
RU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (H)}
RU
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (G)}
유한 생성 가군 을 이루며,[1] :Proposition 3.2
RO
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {RO} (G)}
RO
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {RO} (H)}
유한 생성 가군 을 이룬다.
연결 콤팩트 리 군의 경우
편집
G
{\displaystyle G}
연결 콤팩트 리 군 이라고 하고, 그 극대 원환면
T
≤
G
{\displaystyle T\leq G}
및 이에 대한 바일 군
Weyl
(
G
,
T
)
≤
Out
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {Weyl} (G,T)\leq \operatorname {Out} (T)}
을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로
RU
(
G
)
≅
RU
(
T
)
Weyl
(
G
,
T
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (G)\cong \operatorname {RU} (T)^{\operatorname {Weyl} (G,T)}}
이다. 여기서 우변은
RU
(
T
)
≅
Z
[
x
1
,
x
1
−
1
,
…
,
x
dim
T
,
x
dim
T
−
1
]
{\displaystyle \operatorname {RU} (T)\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{1}^{-1},\dotsc ,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]}
바일 군 의 작용 에 대하여 불변인 것들로 구성된 부분환 이다.
유한 아벨 군의 경우
편집
임의의 유한 아벨 군
G
{\displaystyle G}
지표군
G
^
=
{
ϕ
∈
hom
Grp
(
G
,
C
×
}
{\displaystyle {\hat {G}}=\{\phi \in \hom _{\operatorname {Grp} }(G,\mathbb {C} ^{\times }\}}
을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 군환 이다.
RU
(
G
)
=
Z
[
G
^
]
{\displaystyle \operatorname {RU} (G)=\mathbb {Z} [{\hat {G}}]}
자명군 의 표현환은 정수환 이다.
RO
(
1
)
=
RU
(
1
)
≅
Z
{\displaystyle \operatorname {RO} (1)=\operatorname {RU} (1)\cong \mathbb {Z} }
즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다.
n
{\displaystyle n}
순환군
Cyc
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}
RU
(
Cyc
(
n
)
)
≅
Z
[
x
]
/
(
x
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\cong \mathbb {Z} [x]/(x^{n}-1)}
이며, 그 차원은
dim
:
RU
(
Cyc
(
n
)
)
→
Z
{\displaystyle \dim \colon \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\to \mathbb {Z} }
x
↦
1
{\displaystyle x\mapsto 1}
이다.
이 동형 아래,
x
{\displaystyle x}
1의 거듭제곱근 을 통한 1차원 표현에 대응한다.
Cyc
(
n
)
=
⟨
a
|
a
n
=
1
⟩
→
GL
(
1
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\langle a|a^{n}=1\rangle \to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )}
a
↦
exp
(
2
π
i
/
n
)
{\displaystyle a\mapsto \exp(2\pi \mathrm {i} /n)}
3차 대칭군
편집
3차 대칭군
Sym
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}
RU
(
Sym
(
3
)
)
≅
Z
[
x
,
y
]
/
(
x
y
−
y
,
x
2
−
1
,
y
2
−
x
−
y
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Sym} (3))\cong \mathbb {Z} [x,y]/(xy-y,x^{2}-1,y^{2}-x-y-1)}
dim
x
=
1
{\displaystyle \dim x=1}
dim
y
=
2
{\displaystyle \dim y=2}
이다. 여기서
x
{\displaystyle x}
Sym
(
3
)
↦
C
×
{\displaystyle \operatorname {Sym} (3)\mapsto \mathbb {C} ^{\times }}
σ
↦
(
−
)
σ
{\displaystyle \sigma \mapsto (-)^{\sigma }}
이며,
y
{\displaystyle y}
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
C
3
:
x
+
y
+
z
=
0
}
{\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}\colon x+y+z=0\}}
원군
U
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {U} (1)}
로랑 다항식 의 환
RU
(
Cyc
(
n
)
)
≅
Z
[
x
,
x
−
1
]
{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\cong \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}
이며, 그 차원은
dim
:
RU
(
Cyc
(
n
)
)
→
Z
{\displaystyle \dim \colon \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\to \mathbb {Z} }
x
↦
1
{\displaystyle x\mapsto 1}
이다. 이 동형 아래,
x
k
{\displaystyle x^{k}}
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
U
(
1
)
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
=
1
}
→
GL
(
1
;
C
)
=
{
z
∈
C
:
z
≠
0
}
{\displaystyle \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\{z\in \mathbb {C} \colon z\neq 0\}}
z
↦
z
k
{\displaystyle z\mapsto z^{k}}
원군 의 실수 계수 다항식은 다음과 같은 부분환이다.
RO
(
U
(
1
)
)
=
{
ρ
∈
RU
(
U
(
1
)
)
:
ρ
(
x
)
=
ρ
(
x
−
1
)
}
≤
RU
(
U
(
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {RO} (\operatorname {U} (1))=\{\rho \in \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1))\colon \rho (x)=\rho (x^{-1})\}\leq \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1))}
원환면군
편집
원환면 군
U
(
1
)
n
{\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}}
의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 가환환 이다.
RU
(
U
(
1
)
n
)
=
Z
[
x
1
,
x
1
−
1
,
x
2
,
x
2
−
1
,
…
,
x
n
,
x
n
−
1
]
≅
Z
[
y
,
x
1
,
…
,
x
n
]
/
(
y
x
1
⋯
x
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1)^{n})=\mathbb {Z} [x_{1},x_{1}^{-1},x_{2},x_{2}^{-1},\dotsc ,x_{n},x_{n}^{-1}]\cong \mathbb {Z} [y,x_{1},\dotsc ,x_{n}]/(yx_{1}\dotsm x_{n}-1)}
dim
:
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
→
1
{\displaystyle \dim \colon x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}\to 1}
이 동형 아래,
U
(
1
)
n
=
{
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
:
|
z
1
|
=
⋯
=
|
z
n
|
=
1
}
→
GL
(
1
;
C
)
=
{
z
∈
C
:
z
≠
0
}
{\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}=\{(z_{1},z_{2},\dotsc ,z_{n})\colon |z_{1}|=\dotsb =|z_{n}|=1\}\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\{z\in \mathbb {C} \colon z\neq 0\}}
x
i
:
(
z
1
,
…
,
z
n
)
↦
z
i
(
i
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
)
{\displaystyle x_{i}\colon (z_{1},\dotsc ,z_{n})\mapsto z_{i}\qquad (i\in \{1,2,\dotsc ,n\})}
이다.
유니터리 군
편집
유니터리 군
U
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {U} (n)}
극대 원환면 은 대각 행렬
diag
:
U
(
1
)
n
↪
U
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {diag} \colon \operatorname {U} (1)^{n}\hookrightarrow \operatorname {U} (n)}
diag
:
(
z
1
,
…
,
z
n
)
↦
diag
(
z
1
,
…
,
z
n
)
{\displaystyle \operatorname {diag} \colon (z_{1},\dotsc ,z_{n})\mapsto \operatorname {diag} (z_{1},\dotsc ,z_{n})}
로 구성되며, 이에 따른 바일 군 은 대칭군
Sym
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}
RU
(
U
(
n
)
)
=
RU
(
U
(
1
)
n
)
Sym
(
n
)
≅
Z
[
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
−
1
,
s
n
,
s
n
−
1
]
{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {U} (n))=\operatorname {RU} (\operatorname {U} (1)^{n})^{\operatorname {Sym} (n)}\cong \mathbb {Z} [s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{n-1},s_{n},s_{n}^{-1}]}
이다.[1] :120, Proposition 3.1
s
a
{\displaystyle s_{a}}
a
{\displaystyle a}
기초 대칭 다항식 에 대응된다.
s
a
=
∏
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
a
≤
n
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
a
{\displaystyle s_{a}=\prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{a}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dotsb x_{i_{a}}}
특히,
s
1
{\displaystyle s_{1}}
유니터리 군 의
n
{\displaystyle n}
s
n
{\displaystyle s_{n}}
행렬식 표현에 해당한다.
s
n
=
det
:
U
(
1
)
→
GL
(
1
;
C
)
{\displaystyle s_{n}=\det \colon \operatorname {U} (1)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )}
det
:
M
↦
det
M
{\displaystyle \det \colon M\mapsto \det M}
이는 1차원 표현이므로 역원
M
↦
(
det
M
)
−
1
{\displaystyle M\mapsto (\det M)^{-1}}
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle \operatorname {RU} (T)\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{1}^{-1},\dotsc ,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fb39c239e26dddb0494796d764521812481dac)
![{\displaystyle \operatorname {RU} (G)=\mathbb {Z} [{\hat {G}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27482f58c71d66c5b4d39ba1402f082349e11112)
![{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\cong \mathbb {Z} [x]/(x^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e5e6fb9dbdef72906780d525d6e7418b7267cb)
![{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Sym} (3))\cong \mathbb {Z} [x,y]/(xy-y,x^{2}-1,y^{2}-x-y-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f638dfdb5eb321a5eb7603aa439c29ffd1e97816)
![{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\cong \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5185f404b86a69026be6ed64a17c62247b6ba897)
![{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1)^{n})=\mathbb {Z} [x_{1},x_{1}^{-1},x_{2},x_{2}^{-1},\dotsc ,x_{n},x_{n}^{-1}]\cong \mathbb {Z} [y,x_{1},\dotsc ,x_{n}]/(yx_{1}\dotsm x_{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c54acaf077c74bb18440bd59ea160ea1e7feb9)
![{\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {U} (n))=\operatorname {RU} (\operatorname {U} (1)^{n})^{\operatorname {Sym} (n)}\cong \mathbb {Z} [s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{n-1},s_{n},s_{n}^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1984acebb59e19e53d2ae136cf6f01527de5b43d)
